Нестандартная последовательность

Самые распространенные последовательности аккордов

Нестандартная последовательность

Быть исполнителем или создателем музыки достаточно сложно. Важно не только знать нотную грамоту, но и понимать механизм действия скрытых процессов. Последовательности аккордов часто используются в эстрадной музыке. Они являются универсальным инструментом для создания мелодий, так как могут использоваться в разных стилях.

Теория

Если звучание стремится к определенному тональному центру или центральному аккорду, то такой фрагмент называют последовательностью.

Иногда она представляет собой кратную синтаксической структуре гармоническую ячейку, в этом случае последовательность становятся основой для написания классической пьесы. Использование последовательностей четко связано с формой и ритмом.

В зависимости от частоты повторения отрезка и его длины, можно разделить последовательности на 2, 4 или 8-тактовые. Аккордовые последовательности даже помогают определить принадлежность мелодии к одному из музыкальных стилей.

Человек, только начинающий изучать музыку, может отличить таким образом классику от эстрадных композиций. Если вы хотите писать собственные песни, то важно уметь строить последовательности аккордов, которые будут повторяться и легко запоминаться.

Для написания эстрадной музыки характерно простота и повторяемость аккордной последовательности. Она базируется на повторении музыкального отрезка, в отличие от классической музыки, где гармония движется непрерывно. Этот же принцип используется при написании коротких музыкальных фрагментов, используемых для рекламы.

Истоками последовательности аккордов, применяемых для эстрадных композиций, являются народные песни. Там была очень важна простота исполнения, поскольку на инструментах играли люди, не изучавшие нотную грамоту, а лишь овладевшие некоторыми приемами.

Настоящим элементом стиля стала последовательность в джазовой музыке. Изначально она была близка к классической гармонии, но вскоре регтайм стал стремиться к более простым повторениям – это характерно для поздних композиций.

Типы движения гармонии

Гармония может двигаться по одному из трех типов:

  • кварто-квинтовому;
  • хроматическому;
  • диатоническому.

Именно на этих трех типах строятся другие подвиды последовательности аккордов. Основой для построения является гамма, именно поэтому аккорды нумеруются в соответствии со ступенью, на которой находится их тоника.

Последовательность можно сыграть в любой тональности. При сохранении диатонической структуры в написании аккордов используют только римские цифры. При необходимости использования септаккорда указывают смену класса – 7 или х.

Функциональные последовательности

В их основе лежат магические круги функций:

  • для мажора T-D-S-T;
  • для минора T-MD-S-T (или большой T-MD-S-D-T).

В приведенных выше кругах использованы обозначения: T – тоника, D – доминанта, S – субдоминанта. Эти круги соответствуют любой функциональной последовательности. Например, I-IV-V-I, I-VI-IV-V-I или II-V-I-II. Создать такие последовательности можно для любой гаммы.

Нефункциональные последовательности

Модальные и тонально-секвенционные последовательности являются нефункциональными. В них нет четкого разрешения в тонику доминанты и субдоминанты. Также отсутствуют тональные тяготения. В этих последовательностях может быть задействовано от двух вариантов тональности.

Примером тому является Am7 – Hm7, которая является самой распространенной последовательностью. Например, ее можно интерпретировать в дорийский минор, тогда формула будет I-IIm7. Эта же последовательность аккордов в тональности мажор может быть представлена как II-III по G.

Нефункциональную последовательность можно построить на основе натуральных ладов. Примером тому может стать последовательность в миксолидийском G мажоре или эолийском C. Формула может быть такая: G-Dm-Em-F.

При этом нефункциональные последовательности чаще всего имеют в составе всего 2 аккорда. Мелодии строятся на их чередовании, и таких композиций немало.

Но чаще всего используются все же последовательности с большим количеством аккордов, которые чередуются между собой.

Где используются аккордные последовательности

Аккорды являются основой множества стилей: джаз, хэви-металл, блюз и подобные им. Заимствование аккордной последовательности стало основой для множества классических пьес. Вся современная эстрада построена на использовании последовательностей.

С эстрадой связан интересный факт. Если плагиатом является заимствование 7 нот подряд, то последовательности под эту норму не попадают.

Ведь иначе многим композиторам пришлось бы делиться гонорарами с давно умершим Бахом, которому принадлежат многие красивые последовательности аккордов, а точнее с его потомками.

Использование последовательностей не облагается авторским правом. Именно поэтому многие считают, что эстрадные песни похожи между собой и имеют одну мелодию.

Наиболее часто используемые последовательности в джазе

Джазовые последовательности аккордов осваивать интереснее всего, так как они являются самыми необычными, сложными и красивыми. Одной их самых распространенных прогрессий является нисходящая ii V I.

  • | Cmaj7 | % |Cm7 | F7 | Bbmaj7 | % | Bbm7 | Eb7 | Abmaj7.

Как видите, это мажорная последовательность, в которой фрагмент начинается с тональности С, а заканчивается в мажорной Ab. На всем протяжении отрезка тональность не меняется. Эту прогрессию рекомендуется изучить тем гитаристам, которые только начали знакомиться с джазовыми последовательностями. У этой последовательности есть родственный минорный вариант:

Она поможет даже опытным музыкантам расширить свой багаж знаний. Минорные последовательности аккордов освоить будет сложнее, чем мажорные из-за присутствия 7alt.

Еще один популярный джазовый и блюзовый гитарный ход – это движение от I к IV. В миноре с ней знакомы многие исполнители, а вот построить последовательность в мажорной тональности будет достаточно интересно. Примеры, которые вы можете сразу попробовать:

  • Cmaj7-Gm7-C7-F-maj7 или Cmaj7-Gm9-C13-Fmaj9-F6/9.

Попробуйте их в разных тональностях. Это станет отличным упражнением для слуха и пальцев.

Приемы работы с аккордами

Создать последовательность аккордов можно разными способами. Одним из самых распространенных случаев является использование собственного слуха. Этот прием заключается в том, что композитор напевает мелодию, которая пришла на ум или легла на текст, а потом уже подбирает к ней последовательности аккордов.

Гармоническая последовательность аккордов характерна для классической музыки. В других же стилях используется ограниченное количество последовательностей, где гармония существенного значения не имеет. Существует масса приемов, которые помогут вам создать свою последовательность.

Аккорды можно заменить на противоположные по тональности или сделать к ним надстройки. Часто аккорды просто меняют местами. Чтобы найти для себя более приемлемый прием, попробуйте изменить тональность и сделать другие манипуляции со схемой T-S-D-T.

Это еще одно полезное упражнение для будущих композиторов и просто музыкантов.

Пример создания последовательности

Итак, вы уже знаете около 20 аккордов, которые можно сыграть на гитаре и жаждете создать авторскую песню? Для таких случаев подойдет именно метод подбора, с помощью которого можно создать простую и запоминающуюся композицию.

Создание последовательности аккордов на гитаре начинается с поиска гаммы для песни. Для этого вам необходимо иметь уже готовый текст или хотя бы мотив. Напойте его несколько раз, чтобы правильно выбрать гамму, которая ляжет в основе новой последовательности. Определите ноту, которая предопределила мелодию.

  1. Определитесь с тональностью гаммы. Для этого возьмите ноту, которую вы нашли, снова напойте песню. Рекомендуем сначала всегда брать мажор, а если он не подошел, то пробовать минор.
  2. Исходя из ноты и гаммы, применяя правила семейственности аккордов, вы легко найдете правильное сочетание.
  3. Если вы недостаточно профессионально играете на гитаре, то используйте трюк «три аккорда». Разберем его на основе мажорной гаммы и основной ноты «до». В этом случае последовательность будет выглядеть следующим образом: до-мажор – фа-мажор – соль-септаккорд.

Для того чтобы научиться создавать более сложные мелодии, необходимо постоянно практиковаться. Разучивайте последовательности, которые используются в мелодиях, относящихся к разным стилям.

Пробуйте писать свои первые последовательности, которые могут лечь в основу песен. Обязательно во время работы с последовательностями делайте большое количество повторений.

Если у вас не получилось написать свою мелодию с первого раза, то обязательно получится со 101-го, поэтому не бросайте попыток. Для этого вам придется запастись терпением.

Источник: http://fb.ru/article/295372/samyie-rasprostranennyie-posledovatelnosti-akkordov

Использование стандартной сортировки

Нестандартная последовательность

Для сортировки массивов и векторов в STL есть функции sort и stable_sort (последняя реализует устойчивую сортировку, которая не меняет порядок элементов массива, если они равны).

Для сортировки вектора A алгоритм сортировки нужно вызывать так:

Для сортировки массива A из n элементов функцию сортировки нужно вызывать так:

Но в некоторых случаях необходимо использовать более сложные, настраиваемые функции сортировки, использующие нестандартный порядок. Есть несколько способов задавать настраиваемый порядок сортировки.

Функция-компаратор

Алгоритм сортировки сравнивает элементы при помощи операции «меньше». Можно самостоятельно реализовать операцию «меньше» и использовать её в алгоритме сортировки.

Например, давайте упорядочим числа по последней цифре, а если последние цифры равны, то порядок неопределён. В этом случае мы вводим между ними отношение порядка, обозначим его \(\prec\).

Например, следующие отношения будут верны, так как последняя цифра левого числа меньше, чем последняя цифра правого числа:

\(2 \prec 3\)

\(12 \prec 3\)

\(102 \prec 73\)

\(98 \prec 99\)

А следующие отношения порядка неверны:

\(3prec 2\)

\(3prec 3\)

\(7 prec 22\)

\(103 prec 113\)

Отношение порядка должно удовлетворять следующим свойствам:

1. \(aprec a\).

2. Если \(a\prec b\), то \(bprec a\).

3. Если \(a \prec b\) и \(b \prec c\), то \(a \prec c\).

Для того, чтобы использовать функцию-компаратор, необходимо объявить функцию, которая получает на вход два сравниваемых значения и возвращает значение типа bool, при этом она возвращает true, если первый аргумент меньше второго аргумента, то есть обязан в упорядоченном массиве идти раньше второго.

Пример реализации такой функции для сортировки значений по последней цифре:

bool cmp(int a, int b){    return a % 10 < b % 10;

}

Эта функция передается в функцию sort третьим параметром:

sort(a.begin(), a.end(), cmp);

Если есть два элемента \(a\) и \(b\), такие, что \(aprec b\) и \(bprec a\), то с точки зрения сортировки эти элементы «равны». В нашем примере это два числа, оканчивающиеся на одинаковые цифры.

Тогда их порядок не определен, если используется функция sort.

Если же использовать функцию stable_sort, то эта функция не переставляет равные элементы, то есть сохраняется тот же порядок, который был в массиве до сортировки.

Приведем еще один пример сортировки двух чисел — по возрастанию последней цифры числа, а если последние цифры равны — то по убыванию самих чисел.

bool cmp(int a, int b){    return a % 10 < b % 10 || a % 10 == b % 10 && a > b;

}

Заметим также, что в функцию-компаратор лучше передавать объекты не по значению, а по ссылке, в этом случае они не будут копироваться (что может занимать значительное время при передачи крупных объектов, например, строк, векторов и т.д.). Тогда функцию нужно объявлять так:

bool cmp(const int & a, const int & b);

Структура pair

В библиотеке STL есть шаблон класса pair.

Класс pair — это два значения, то есть «пара». У объектов этого класса два поля, первое называется first, второе называется second. Например, класс pair можно использовать для хранения точек плоскости (точка — это две координаты) или рациональных дробей (дробь — два числа).

Один экземпляр объектов класса pair определяется так:

Теперь p — это структура с двумя полями, типа int каждое, им можно присваивать значения:

p.first = 1;
p.second = 2;

Можно сразу присвоить значение «паре» целиком, здесь может оказаться полезным функция make_pair, у которой два аргумента, и которая возвращает объект класса pair, поля которого равны двум аргументам. Например:

Можно создавать массивы и векторы из pair, например:

vector a;

pair сортируются в лексикографическом порядке, то есть сначала они упорядочиваются по значению поля first, а при равном значении поля first — по значению поля second.

Поэтому для решения задачи сортировки, например, чисел по последней цифре можно создать pair, у которой поле first будет равно последней цифре числа, а поле second — самому числу.

Рассмотрим два примера реализации считывания и создания такого массива:

int n;cin >> n;vector a(n);for (int i = 0; i < n; ++i) {    cin >> a[i].second;    a[i].first = a[i].second % 10;

}

А в следующем примере будем использовать функцию make_pair для создания пары и добавления ее в конец вектора:

int n;cin >> n;vector a;for (int i = 0; i < n; ++i) {    int num;    cin >> num;    a.push_back(make_pair(n % 10, n));

}

Элементами пары могут быть объекты разных типов, не только числа.

Другое типичное применение pair в сортировке — сортировка данных с сохранением информации об их порядке. Например, пусть дана последовательность строк, их нужно отсортировать по алфавиту, но нужно для каждой строки запомнить ее номер во входных данных. В этом случае нужно использовать pair, у которой первое поле — строка, а второе поле — число, в котором будет храниться номер:

int n;cin >> n;vector a(n);for (int i = 0; i < n; ++i) {    cin >> a[i].first;    a[i].second = i;

}

Структура tuple

Допустим, в одной переменной нужно хранить не два, а большее число полей. Например, информация о человеке может содержать поля имя, фамилия, возраст, и необходимо как-то сортировать эти данные.

Возможные варианты решения:

1. Создание собственной структуры данных с указанием нужных полей. Например,

struct person {    string lastname;    string firstname;    int age;

}

В этом случае придется объявлять саму структуру, затем реализовывать операцию сравнения, что может занимать достаточно много кода.

2. Использовать pair, один из элементов которого также является pair.

Например, можно объявить переменную так:

pair person;person.first = lastname;person.second.first = firstname;

person.second.second = age;

Это не требует объявления структуры, но достаточно неудобно обращаться к полям структуры через конструкции вида .second.first.

Начиная со стандарта C++11 в STL есть класс tuple (кортеж), который предоставляет возможность создавать аналоги pair из любого количества полей. Например, для представления класса из трех полей типа string, string, int можно объявить класс следующим образом:

tuple p;

Для доступа к полям tuple используется конструкция get следующим образом:

get(p) = lastname;get(p) = firstname;

get(p) = age;

Параметр, передаваемый функции get в угловых скобках — это номер поля, индексация начинается с нуля. Это значение должно быть константой, то есть определено на момент компиляции программы, нельзя в качестве этого значения использовать переменную.

Например, объявим класс person как tuple из трех полей при помощи typedef (для упрощения последующего использования)

typedef tuple person;int n;cin >> n;vector p(n);for (int i = 0; i < n; ++i) {    cin >> get(p[i]) >> get(p[i]) >> get(p[i]);

}

Или можно использовать функцию make_tuple, аналогичную make_pair:

typedef tuple person;int n;cin >> n;vector p;for (int i = 0; i < n; ++i) {    string lastname, firstname;    int age;    cin >> lastname >> firsstname >> age;    p.push_back(make_tuple(lastname, firstname, age));

}

Tuple сортируются также в лексикографическом порядке — сначала по первому полю, при равенстве первого поля — по второму, затем по третьему и т.д.

Источник: https://server.179.ru/tasks/cpp/theory/17-sort.html

5 простых правил порядка слов в английском

Нестандартная последовательность

Для того, чтобы построить даже самое простое предложение в английском, нужно знать порядок слов в языке. Эта, казалось бы, простая, но очень важная тема является отправной точкой в изучении английской грамматики.

Подлежащее + сказуемое + прямое дополнение

В обычном утвердительном предложении подлежащее ставится непосредственно перед сказуемым (глаголом). Прямое дополнение, когда оно есть, идет сразу после глагола. Например:

  • They bought a car. — Они купили машину.
  • We can’t do that. — Мы не можем этого сделать.
  • The girl in a blue dress was playing the piano. — Девочка в синем платье играла на фортепиано.

Предикат

Заметьте, что под подлежащим мы здесь подразумеваем не только главное существительное или местоимение, но и прилагательные или описательные фразы, которые к нему относятся. Остальная часть предложения, которая не относится к подлежащему, называется предикатом. Например:

  • The girl in a blue dress was playing the piano.

Косвенные дополнения и обстоятельства

Если в предложении есть еще какие-либо части — косвенные дополнения или обстоятельства — они обычно занимают строго определенное место.

Позиция косвенного дополнения

Косвенное дополнение ставится после прямого дополнения, если оно содержит предлог to.

Косвенное дополнение ставится перед прямым дополнением, когда to отсутствует. Например:

  • The teacher gave dictionaries to the pupils. — Учитель раздал словари ученикам.
  • The teacher gave them dictionaries. — Учитель раздал им словари.

Позиция обстоятельства

Обстоятельство может ставиться в трех местах:

Перед подлежащим (обычно это обстоятельства времени)

  • In the morning he was reading a book. — Утром он читал книгу.

После дополнения (сюда можно поставить практически любое наречие или обстоятельственный оборот):

  • He was reading a book at the library. — Он читал книгу в библиотеке.

Между вспомогательным и основным глаголом (как правило, это короткие наречия):

  • He has already read this book. — Он уже прочел книгу.

Нестандартный порядок слов в английском

Обычно в стандартном английском между подлежащим и сказуемым или между сказуемым и дополнением не ставится других слов. Но есть несколько исключений. Вот самые важные из них:

Наречия частоты действия и косвенные дополнения без предлога to

  • I sometimes drink coffee in the morning.  — Я иногда пью кофе по утрам.
  • He showed the driver his bus pass. — Он показал водителю свой проездной на автобус.

Если вы будете следовать этим простым правилам, вам удастся избежать ошибок в расстановке слов в английском предложении.

Приведенные примеры намеренно просты — но эти же правила можно применять и к более сложным предложениям с придаточными конструкциями. Например:

  • The woman, [who often felt lonely], never went to sleep before [she had phoned her sister.]  — Женщина, [которая часто чувствовала себя одинокой], никогда не ложилась спать, [не позвонив своей сестре].

Стилистическое изменение порядка слов

Конечно, в правилах есть исключения, и писатели или ораторы часто используют нестандартный порядок слов для достижения особого эффекта. Но если сейчас мы будем заострять внимание на исключениях, мы отвлечемся от главных принципов, и проблема порядка слов в предложении может показаться очень сложной.

Поэтому вот еще несколько примеров: вы должны знать, что такие предложения существуют, но не пытайтесь использовать их без крайней необходимости, пока не освоите принципы обычного порядка слов (помните, что сначала нужно научиться ходить, а потом уже бегать!):

  • Never before had he felt so miserable. — Никогда ранее не чувствовал он себя таким несчастным. 

Если предложение начинается с never или never before, подлежащее и сказуемое часто подвергаются инверсии, т.е. меняются местами. Не используйте инверсию, когда never следует за подлежащим!

  • Hardly had I finished cleaning the house, my friend called. — Едва я закончил уборку дома, как позвонил мой друг.

(Когда предложение начинается с hardly, подлежащее и сказуемое необходимо инвертировать всегда.)

  • Had they known, they'd never have done that. — Знай они это, они бы никогда так не поступили.

(Инверсия используется в структурах гипотетического условия, когда if опускается.)

  • Whatever you can tell me, I know already. — Что бы ты мне ни сказал, я уже это знаю.

Здесь развернутое дополнение, Whatever you can tell me, помещено в начало предложения по художественным причинам: такая структура предложения не является необходимой, это просто стилистический прием.

Теперь, освоив правила построения простых предложений, вы можете переходить к более сложным предложениям с придаточными конструкциями.

Источник: https://skyeng.ru/articles/5-prostyh-pravil-poryadka-slov-v-anglijskom

Определение числовой последовательности

Нестандартная последовательность

Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа.

Определение.
Числовой последовательностью {xn} называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . ставится в соответствие некоторое число xn.
Элемент xn называют n-м членом или элементом последовательности.

Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

Последовательность обозначается в виде n-го члена, заключенного в фигурные скобки: . Также возможны следующие обозначения: . В них явно указывается, что индекс n принадлежит множеству натуральных чисел и сама последовательность имеет бесконечное число членов. Вот несколько примеров последовательностей:
,   ,   .

Другими словами числовая последовательность – это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов.

Главным образом нас будет интересовать вопрос – как ведут себя последовательности, при n стремящемся к бесконечности: . Этот материал излагается в разделе Предел последовательности – основные теоремы и свойства. А здесь мы рассмотрим несколько примеров последовательностей.

Примеры неограниченно возрастающих последовательностей

Рассмотрим последовательность . Общий член этой последовательности . Выпишем несколько первых членов:
.
Видно, что с ростом номера n, элементы неограниченно возрастают в сторону положительных значений. Можно сказать, что эта последовательность стремится к : при .

Теперь рассмотрим последовательность с общим членом . Вот ее несколько первых членов:
.
С ростом номера n, элементы этой последовательности неограниченно возрастают по абсолютной величине, но не имеют постоянного знака. То есть эта последовательность стремится к : при .

Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу

Рассмотрим последовательность . Ее общий член . Первые члены имеют следующий вид:
.
Видно, что с ростом номера n, элементы этой последовательности приближаются к своему предельному значению a = 0: при . Так что каждый последующий член ближе к нулю, чем предыдущий.

В каком-то смысле можно считать, что есть приближенное значение для числа a = 0 с погрешностью . Ясно, что с ростом n эта погрешность стремится к нулю, то есть выбором n, погрешность можно сделать сколь угодно малой.

Причем для любой заданной погрешности ε > 0 можно указать такой номер N, что для всех элементов с номерами большими чем N: , отклонение числа от предельного значения a не превзойдет погрешности ε: .

Далее рассмотрим последовательность . Ее общий член . Вот несколько ее первых членов:
.
В этой последовательности члены с четными номерами равны нулю. Члены с нечетными n равны . Поэтому, с ростом n, их величины приближаются к предельному значению a = 0. Это следует также из того, что
.

Также как и в предыдущем примере, мы можем указать сколь угодно малую погрешность ε > 0, для которой можно найти такой номер N, что элементы, с номерами большими чем N, будут отклоняться от предельного значения a = 0 на величину, не превышающую заданной погрешности.

Поэтому эта последовательность сходится к значению a = 0:   при  .

Примеры расходящихся последовательностей

Рассмотрим последовательность со следующим общим членом:
Вот ее первые члены:

. Видно, что члены с четными номерами:

,

сходятся к значению a1 = 0. Члены с нечетными номерами:
,
сходятся к значению a2 = 2. Сама же последовательность, с ростом n, не сходится ни к какому значению.

Последовательность с членами, распределенными в интервале (0;1)

Теперь рассмотрим более интересную последовательность. На числовой прямой возьмем отрезок [0;1]. Поделим его пополам. Получим два отрезка. Пусть
. Каждый из отрезков снова поделим пополам. Получим четыре отрезка. Пусть

.

Каждый отрезок снова поделим пополам. Возьмем

.
И так далее.

В результате получим последовательность, элементы которой распределены в открытом интервале (0; 1). Какую бы мы ни взяли точку из закрытого интервала [0; 1], мы всегда можем найти члены последовательности, которые окажутся сколь угодно близко к этой точке, или совпадают с ней.

Тогда из исходной последовательности можно выделить такую подпоследовательность, которая будет сходиться к произвольной точке из интервала [0; 1]. То есть с ростом номера n, члены подпоследовательности будут все ближе подходить к наперед выбранной точке.

Например, для точки a = 0 можно выбрать следующую подпоследовательность:
.
Члены этой подпоследовательности сходятся к значению a = 0.

Для точки a = 1 выберем такую подпоследовательность:
.
Члены этой подпоследовательности сходятся к значению a = 1.

Поскольку существуют подпоследовательности, сходящиеся к различным значениям, то сама исходная последовательность не сходится ни к какому числу.

Последовательность, содержащая все рациональные числа

Теперь построим последовательность, которая содержит все рациональные числа. Причем каждое рациональное число будет входить в такую последовательность бесконечное число раз.

Рациональное число r можно представить в следующем виде:
,
где – целое; – натуральное.
Нам нужно каждому натуральному числу n поставить в соответствие пару чисел p и q так, чтобы любая пара p и q входила в нашу последовательность.

Для этого на плоскости проводим оси p и q. Проводим линии сетки через целые значения p и q. Тогда каждый узел этой сетки с будет соответствовать рациональному числу. Все множество рациональных чисел будет представлено множеством узлов.

Нам нужно найти способ пронумеровать все узлы, чтобы не пропустить ни один узел. Это легко сделать, если нумеровать узлы по квадратам, центры которых расположены в точке (0; 0) (см. рисунок). При этом нижние части квадратов с q < 1 нам не нужны.

Поэтому они не отображены на рисунке.

Итак, для верхней стороны первого квадрата имеем:
. Далее нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
. Нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
.
И так далее.

Таким способом мы получаем последовательность, содержащую все рациональные числа. Можно заметить, что любое рациональное число входит в эту последовательность бесконечное число раз. Действительно, наряду с узлом , в эту последовательность также будут входить узлы , где – натуральное число. Но все эти узлы соответствуют одному и тому же рациональному числу .

Тогда из построенной нами последовательности, мы можем выделить подпоследовательность (имеющую бесконечное число элементов), все элементы которой равны наперед заданному рациональному числу. Поскольку построенная нами последовательность имеет подпоследовательности, сходящиеся к различным числам, то последовательность не сходится ни к какому числу.

Заключение

Здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Точное определение сходимости рассматривается на странице Определение предела последовательности. Связанные с этим свойства и теоремы изложены на странице Предел последовательности – основные теоремы и свойства.

Олег Одинцов.     : 21-08-2017

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/mnozhestva/opredelenie-chislovoj-posledovatelnosti/

Психологический триггер №5: принцип последовательности

Нестандартная последовательность

У меня в доме, в соседнем подъезде, живет один старичок. Этот старичок ставит свой старенький Ford Escort (1992 г.в.

) красного цвета всегда на одно и то же место на небольшой стоянке перед подъездом.

Как он это место “столбит” для меня, если честно, до сих пор остается загадкой, особенно учитывая, что у нас во дворе стоят более 120 машин, сменяя друг друга на местах каждый день. Но суть не в этом.

Форд этого старичка, несмотря на свой возраст (уже более 20 лет, как-никак), по внешнему виду смело даст фору любой 2-3 летней современной машине. Я не шучу.

Раз в 2-3 дня старичок с трепетом и заботой протирает свою машину тряпочкой, заводит двигатель (если никуда не уезжает), включает и выключает фары в известной только ему последовательности и возвращается домой.

И даже когда он закрывает дверь своего автомобиля, он ее лишь слегка подталкивает, и та с легким щелчком закрывается. Всегда с первого раза.

Я слышал, что Форды очень боятся коррозии. Так вот, на этом Форде нет ни одного “жука”. Надо полагать, все это благодаря систематической заботе его хозяина.

К чему я вам об этом рассказываю?

К тому, что сегодня мы с Вами рассмотрим один мощный базовый психологический триггер, определяющий поведение 99% людей на Земле.

Когда Вы активируете этот триггер в нужном Вам ключе, человеку очень сложно Вам сопротивляться, поскольку сопротивление означает противодействие самому себе. Заинтригованы? Тогда устраивайтесь поудобнее.

Сегодня мы рассматриваем один из фундаментальных психологических принципов — принцип последовательности.

Возвращаясь к шаблонам

Если Вы внимательно читали первую статью о триггерах, то помните, что человеческий мозг создает шаблоны (программы), чтобы сэкономить вычислительную мощность.

Более того, мозг выполняет эти программы последовательно, выполняя одну операцию за другой. Чтобы было проще пояснить, присмотритесь к себе. Представьте, что Вы идете по улице, и вдруг к Вам на встречу идет молодой человек (или девушка), громко называя Вас по имени: “Привет, %username%!”.

Ваша реакция на такое приветствие будет зависеть от результата работы программы, запускаемой мозгом в таких случаях. Выглядит она упрощенно следующим образом:

Программа мозга “А ты кто такой?…” в действии

  1. Посмотреть на лицо человека
  2. Сравнить полученную информацию с образом, хранящимся в памяти
  3. Если совпадение найдено, ответить “Привет!”
  4. Если совпадения нет, спросить: “Мы знакомы?”

Суть этого примера в том, чтобы продемонстрировать последовательную природу работы головного мозга. Если Вы присмотритесь к себе, то заметите, что все, что Вы делаете, является частью какой-то последовательности.

Таких последовательностей много. Очень много.

Начиная от глобальных: “прилежно учиться, получить хорошую работу, зарабатывать деньги, чтобы обеспечить себя и семью и уйти на пенсию ветераном труда” и заканчивая локальными: “поставить чайник, заварить чай и выпить его”.

Что происходит, когда последовательность нарушается

Когда последовательность нарушается, мозг, который привык следовать прямо, воспринимает это как ошибку. И, в зависимости от ситуации, это либо ни к чему не приводит, либо проводит к сильному внутреннему дискомфорту (нас будет интересовать именно второй вариант).

Например, если Вы вскипятили чайник, и заварили себе чай, но не стали его пить, мозг у Вас как минимум поинтересуется: “Зачем было проделывать две предыдущие операции?”. И если у Вас будет причина (дело, звонок и т.д.

), то мозг возобновит последовательность при случае.

Но если у Вас не будет внятного ответа — начнется внутренний дискомфорт, поскольку такие действия нелогичны, нерациональны, непонятны мозгу и чаще всего являются поводом задуматься о психическом здоровье.

Последовательность и общество

Окружающие оценивают Вас также с точки зрения последовательности. Если Вы последовательны и рациональны, то Вы вызываете уважение. Если Вы непоследовательны, то Вас считают ветреным и не хотят с Вами иметь никаких дел.

Вот почему когда человек высказывает публично свое мнение, ему очень сложно изменить свою позицию в дальнейшем, поскольку если у него не будет веских причин, то ничего кроме общественного порицания и статуса “пустозвона” он не получит. А большинство боится общественного мнения (побочный эффект социального доказательства), и это многократно усиливает принцип последовательности.

Публичная декларация целей

Знаете ли Вы, почему опытные и успешные люди рекомендуют записывать свои цели и предавать их огласке? Из-за принципа последовательности. Записывая цель, Вы активируете этот триггер в своем мозге, и мозг на подсознательном уровне следует этой последовательности.

Заявляя о своей цели публично, Вы усиливаете действие тригера, поскольку берете на себя ответственность, запуская триггер в мозге окружающих. Они сравнивают последовательность Ваших действий и либо уважают Вас, либо… считают пустозвоном. А пустозвоном не хочет быть никто.

Это в теории. “А что же на практике?”, — спросите Вы. Социологи установили, что люди, записывающие цели и заявляющие о них публично, в 5 раз чаще их достигают, чем те, кто цель не записывал и никому о ней не говорил.

При чем тут старичок из соседнего подъезда?

В начале это статьи я рассказывал Вам про старичка. Наверняка сейчас Вы поняли, почему я Вам о нем рассказал. Ухаживая за своей машиной, он задал мозгу жесткую последовательность. И велика вероятность, что он будет и дальше ухаживать за ней до конца своих дней. Просто потому что иначе все его усилия будут напрасны.

Использование триггера в маркетинге и копирайтинге

Вспомните, бывало ли с Вами такое: Вы заходите в магазин одежды или в павильон в торговом центре, выбираете что-то и примеряете. В какой-то момент Вы ловите себя на мысли, что провели в павильоне довольно долгое время и перемеряли немало вещей. И Вы замечаете, что просто так уйти, ничего не купив, вроде как и неудобно. И Вы неожиданно для себя покупаете ту или иную вещь.

Здесь работает все тот же принцип последовательности. И Вы сами можете его активно использовать в маркетинге и копирайтинге.

Вот несколько примеров использования этого триггера.

1. Согласие человека

Это может быть согласие на что угодно — на звонок, отправку коммерческого предложения, встречу и т.д. Так Вы начинаете последовательность, “соскочить” с которой при грамотном подходе очень сложно (см. пример реализации в приеме “выбор без выбора”).

2. Метода Сократа на переговорах

Использование наводящих вопросов, на которые человек вынужденно отвечает “да”, лишает его возможности пойти на попятную, потому что он в таком случае будет противоречить сам себе и станет выглядеть в глазах окружающих непоследовательным.

3. Модель AIDA

Один из самых ярких примеров действия триггера — модель AIDA. Вы последовательно проводите человека через 4 этапа, и за счет этого повышаете конверсию.

4. Многошаговые продажи

Когда человек подписывается на Вашу рассылку, он сам изъявляет желание получать от Вас письма. В этом случае человеку гораздо сложнее сопротивляться Вашей информации (см. пример в приеме “двухшаговые продажи”).

5. Вовлечение

Опытные продавцы давно заметили: если человек начал взаимодействовать с товаром (нажимать на кнопки, рассматривать и т.д.), то шанс на покупку возрастает на 50%. Именно по этой причине проводятся различные тест-драйвы автомобилей, а в салонах электроники товары можно повертеть в руках, попробовать их в действии и т.д.

6. Воронка продаж

Запланированные маршруты перехода пользователей по сайту (главная — внутренняя страница — регистрация — скачивание материала) — это тоже принцип последовательности. Проблема провала большинства сайтов — они либо не грамотно эту последовательность формируют, либо сами же обрывают.

7. Чтение текста

По статистике, если человек прочитал треть Вашего текста, он в большинстве случаев дочитает его до конца. Каким бы этот текст ни был. Впрочем, это правило относится не только к коммерческим материалам.

Если человек читает скучноватый детектив, и прочитал больше половины, он в большинстве случаев добьет его и узнает-таки, кто убийца (в противном случае получится, что первая половина была прочитана зря).

8. Отзывы, в том числе известных людей

Отзыв — это один из самых наглядных примеров публичного закрепления позиции, отказаться от которой очень сложно. Поэтому не стесняйтесь получать отзывы известных людей, желательно, в документальной форме (на бланках или в видеоформате).

9. Обещания

Лично я очень не люблю давать обещания. По той простой причине, что их нужно выполнять. И именно из-за триггера последовательности. Иначе у меня возникает внутренний дискомфорт, избавиться от которого очень сложно.

Тем не менее, я часто использую обещания в переговорах, только с другой стороны.

Принцип: Вы берете с человека обещание (перезвонить, что-то посмотреть или что-то сделать), и человеку становится на порядок сложнее Вам отказать.

Обратная сторона триггера

проблема триггера в том, что с ним сопряжены несколько очень опасных ментальных ловушек.

Вот некоторые из них:

  1. Бессмысленное упорство, когда человек продолжает дело, которое потеряло смысл в силу тех или иных причин.
  2. Реверсия, когда человек зацикливается и пытается изменить прошлое (петля последовательности)
  3. Противление — продолжение одного дела, когда нужно совершить другое. Пример: звонит будильник, но Вы решаете еще “поваляться”. Еще один наглядный пример — прокрастинация.
  4. Регулирование, ловушка, когда человек последовательно действует по шаблону (или инструкции), в то время как гораздо эффективнее было бы действовать по ситуации.

Пример активации триггера

Триггер последовательности у людей срабатывает постоянно. В различных контекстах: на биологическом, бытовом, профессиональном, межличностном и многих других уровнях. Тем не менее, в отдельных случаях его могут использовать для манипулирования Вами (или Вы его можете использовать для манипулирования другими людьми).

В качестве примера рассмотрим беседу двух людей в спортзале:

— Все, не могу больше отжиматься!— Слушай, ты же сам хотел стать сильным?— Ну, да.— Ты хотел накачать мышцы и перестать быть хлюпиком?— Я и сейчас хочу!— Ты сам попросил меня тобой заняться?— Ну, да, попросил.— Не обессудь, еще 20 раз! Как хочешь, через “не могу”!

— Хорошо, хорошо, я сделаю это!

И человеку ничего не остается, кроме как собрать волю в кулак и продолжать. Этот пример показателен еще тем, что он может быть как абсолютно невинным, так и со злым умыслом, в зависимости от ситуации (например, если манипулятор хочет довести собеседника до предела или реализует многошаговую манипуляцию).

Резюме

Итак, теперь Вы знаете, что люди ведут себя последовательно, и это можно использовать не только в маркетинге и копирайтинге, но и в повседневной жизни.

Главное — это создать такие услвоия, при которых в сознании человека запустится нужная последовательность, а дальше природа человеческого мозга все сделает за Вас.

И даже если человек “соскочит”, всегда можно сделать корректировку, вернув его на “рельсы последовательности”.

Важно: Помните, моральная и этическая ответственность за умышленное использование этого триггера лежит полностью на Вас.

Я предупредил.

Искренне Ваш, Даниил Шардаков.

P.S. На десерт сегодня наглядный пример манипуляции с помощью принципа последовательности. Посмотрите как главный герой виртуозно активирует триггер.

Источник: https://shard-copywriting.ru/sequence/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.