Последовательность дробей

Действия с дробями: правила, примеры, решения

Последовательность дробей

Данная статья рассматривает действия над дробями. Будут  сформированы и обоснованы правила сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень дробей вида AB, где A и B могут быть числами, числовыми выражениями или выражениями с переменными. В заключении будут рассмотрены примеры решения с подробным описанием.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Числовые дроби общего вида имеют числитель и знаменатель, в которых имеются натуральные числа или числовые выражения. Если рассмотреть такие дроби, как 35, 2,84, 1+2·34·(5-2), 34+782,3-0,8, 12·2, π1-23+π, 20,5ln 3, то видно, что числитель и знаменатель может иметь не только числа, но и выражения различного плана.

Определение 1

Существуют правила, по которым идет выполнение действий с обыкновенными дробями. Оно подходит и для дробей общего вида:

  • При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остается прежним, а именно: ad±cd=a±cd, значения a, c и d≠0 являются некоторыми числами или числовыми выражениями.
  • При сложении или вычитании дроби при разных знаменателях, необходимо произвести приведение к общему, после чего произвести сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми показателями.  Буквенно это выглядит таком образом ab±cd=a·p±c·rs, где значения a, b≠0, c, d≠0, p≠0, r≠0, s≠0 являются действительными числами, а b·p=d·r=s. Когда p=d и r=b, тогда ab±cd=a·d±c·db·d.
  • При умножении дробей выполняется действие с числителями, после чего со знаменателями, тогда получим ab·cd=a·cb·d, где a, b≠0, c, d≠0 выступают в роли действительных чисел.
  • При делении дроби на дробь первую умножаем на вторую обратную, то есть производим замену местами числителя и знаменателя: ab:cd=ab·dc.

Обоснование правил

Определение 2

Существуют следующие математические моменты, на которые следует опираться при вычислении:

  • дробная черта означает знак деления;
  • деление на число рассматривается как умножение на его обратное значение;
  • применение свойства действий с действительными числами;
  • применение основного свойства дроби и числовых неравенств.

С их помощью можно производить преобразования вида:

ad±cd=a·d-1±c·d-1=a±c·d-1=a±cd;ab±cd=a·pb·p±c·rd·r=a·ps±c·es=a·p±c·rs;ab·cd=a·db·d·b·cb·d=a·d·a·d-1·b·c·b·d-1==a·d·b·c·b·d-1·b·d-1=a·d·b·cb·d·b·d-1==(a·c)·(b·d)-1=a·cb·d

Примеры

В предыдущем пункте было сказано про действия с дробями. Именно после этого дробь нуждается в упрощении. Подробно эта тема была рассмотрена в пункте о преобразовании дробей.

Для начала рассмотрим пример сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем.

Пример 1

Даны дроби 82,7 и 12,7, то по правилу необходимо числитель сложить, а знаменатель переписать.

Решение

Тогда получаем дробь вида 8+12,7. После выполнения сложения получаем дробь вида 8+12,7=92,7=9027=313. Значит, 82,7+12,7=8+12,7=92,7=9027=313.

Ответ: 82,7+12,7=313

Имеется другой способ решения. Для начала производится переход к виду обыкновенной дроби, после чего выполняем упрощение. Это выглядит таким образом:

82,7+12,7=8027+1027=9027=313

Пример 2

Произведем вычитание из 1-23·log23·log25+1 дроби вида 233·log23·log25+1.

Так как даны равные знаменатели, значит, что мы выполняем вычисление дроби при одинаковом знаменателе. Получим, что

1-23·log23·log25+1-233·log23·log25+1=1-2-233·log23·log25+1

Имеются примеры вычисления дробей с разными знаменателями. Важный пункт – это приведение к общему знаменателю. Без этого мы не сможем выполнять дальнейшие действия с дробями.

Процесс отдаленно напоминает приведение к общему знаменателю. То есть производится поиск наименьшего общего делителя в знаменателе, после чего добавляются недостающие множители к дробям.

Если складываемые дроби не имеют общих множителей, тогда им может стать их произведение.

Пример 3

Рассмотрим на примере сложения дробей 235+1 и 12. 

Решение

В данном случае общим знаменателем выступает произведение знаменателей. Тогда получаем, что 2·35+1. Тогда при выставлении дополнительных множителей имеем, что к первой дроби он равен 2, а ко второй 35+1. После перемножения дроби приводятся к виду 42·35+1. Общее приведение 12 будет иметь вид 35+12·35+1. Полученные дробные выражения складываем и получаем, что

235+1+12=2·22·35+1+1·35+12·35+1==42·35+1+35+12·35+1=4+35+12·35+1=5+352·35+1

Ответ: 235+1+12=5+352·35+1

Когда имеем дело с дробями общего вида, тогда о наименьшем общем знаменателе обычно дело не идет.  В качестве знаменателя нерентабельно принимать произведение числителей. Для начала необходимо проверить, имеется ли число, которое меньше по значению, чем их произведение.

Пример 4

Рассмотрим на примере 16·215 и 14·235, когда их произведение будет равно 6·215·4·235=24·245. Тогда  в качестве общего знаменателя берем 12·235.

Рассмотрим примеры умножений дробей общего вида.

Пример 5

Для этого необходимо произвести умножение 2+16 и 2·53·2+1. 

Решение

Следую правилу, необходимо переписать и в виде знаменателя написать произведение числителей. Получаем, что 2+16·2·53·2+12+1·2·56·3·2+1.  Когда дробь будет умножена, можно производить сокращения для ее упрощения. Тогда 5·332+1:1093=5·332+1·9310.

Используя правило перехода от деления к умножению на обратную дробь, получим дробь, обратную данной. Для этого числитель и знаменатель меняются местами. Рассмотрим на примере:

5·332+1:1093=5·332+1·9310

 После чего должны выполнить умножение и упростить полученную дробь. Если необходимо, то избавиться от иррациональности в знаменателе. Получаем, что

5·332+1:1093=5·33·9310·2+1=5·210·2+1=32·2+1==3·2-12·2+1·2-1=3·2-12·22-12=3·2-12

Ответ: 5·332+1:1093=3·2-12

Данный пункт применим, когда число или числовое выражение может быть представлено в виде дроби, имеющую знаменатель, равный 1, тогда и действие с такой дробью рассматривается отдельным пунктом. Например, выражение 16·74-1·3 видно, что корень из 3 может быть заменен другим 31 выражением. Тогда эта запись будет выглядеть как умножение двух дробей вида 16·74-1·3=16·74-1·31.

Выполнение действие с дробями, содержащими переменные

Правила, рассмотренные в первой статье , применимы для действий с дробями, содержащими переменные. Рассмотрим правило вычитания, когда знаменатели одинаковые.

Необходимо доказать, что A, C и D (D не равное нулю) могут быть любыми выражениями, причем равенство AD±CD=A±CD равноценно с его областью допустимых значений.

Необходимо взять набор переменных ОДЗ. Тогда  А, С, D должны принимать соответственные значения a0, c0 и d0.

 Подстановка вида AD±CD приводит разность  вида a0d0±c0d0, где по правилу сложения получаем формулу вида a0±c0d0. Если подставить выражение A±CD, тогда получаем ту же дробь вида a0±c0d0.

Отсюда делаем вывод, что выбранное значение, удовлетворяющее ОДЗ, A±CD и AD±CD считаются равными.

При любом значении переменных данные выражения будут равны, то есть их называют тождественно равными. Значит это выражение считается доказываемым равенством вида AD±CD=A±CD.

Примеры сложения и вычитания дробей с переменными

Когда имеются одинаковые знаменатели, необходимо только складывать или вычитать числители. Такая дробь может быть упрощена.

Иногда приходится работать с дробями, которые являются тождественно равными, но при первом взгляде это  незаметно, так как необходимо выполнять некоторые преобразования. Например, x23·x13+1 и x13+12 или 12·sin 2α и sin a·cos a.

Чаще всего требуется упрощение исходного выражения для того, чтобы увидеть одинаковые знаменатели.

Пример 6

Вычислить:1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2), x-1x-1+xx+1.

Решение

  1. Чтобы произвести вычисление, необходимо вычесть дроби, которым имеют одинаковые знаменатели. Тогда получаем, что x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+1-5-xx+x-2.  После чего можно выполнять раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых. Получаем, чтоx2+1-5-xx+x-2=x2+1-5+xx+x-2=x2+x-4x+x-2
  2. Так как знаменатели одинаковые, то остается только сложить числители, оставив знаменатель:​​​​​​lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg2x+4+4x·(lg x+2)
    Сложение было выполнено. Видно, что можно произвести сокращение дроби.  Ее числитель может быть свернут по формуле квадрата суммы, тогда получим (lg x+2)2из формул сокращенного умножения. Тогда получаем, что
    lg2x+4+2·lg xx·(lg x+2)=(lg x+2)2x·(lg x+2)=lg x+2x
  3.  Заданные дроби вида x-1x-1+xx+1 с разными знаменателями. После преобразования можно перейти к сложению.

Рассмотрим двоякий способ решения.

Первый способ заключается в том, что знаменатель первой дроби подвергается разложению на множители при помощи квадратов, причем с ее последующим сокращением. Получим дробь вида

x-1x-1=x-1(x-1)·x+1=1x+1

Значит, x-1x-1+xx+1=1x+1+xx+1=1+xx+1.

В таком случае необходимо избавляться от иррациональности в знаменателе.

Получим:

1+xx+1=1+x·x-1x+1·x-1=x-1+x·x-xx-1

Второй способ заключается в умножении числителя и знаменателя второй дроби на выражение x-1. Таким образом, мы избавляемся от иррациональности и переходим к сложению дроби при наличии одинакового знаменателя. Тогда

x-1x-1+xx+1=x-1x-1+x·x-1x+1·x-1==x-1x-1+x·x-xx-1=x-1+x·x-xx-1

Ответ: 1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+x-4x+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg x+2x, 3)x-1x-1+xx+1=x-1+x·x-xx-1.

В последнем примере получили, что приведение к общему знаменателю неизбежно. Для этого необходимо упрощать дроби. Для сложения или вычитая всегда необходимо искать общий знаменатель, который выглядит как произведение знаменателей  с добавлением дополниетльных множителей к числителям.

Пример 7

Вычислить значения дробей: 1) x3+1×7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·(2x-4)-sin xx5·ln(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x

Решение

  1.  Никаких сложных вычислений знаменатель не требует, поэтому нужно выбрать их произведение вида 3·x7+2·2, тогда к первой дроби x7+2·2 выбирают как дополнительный множитель, а 3 ко второй. При перемножении получаем дробь вида x3+1×7+2·2=x·x7+2·23·x7+2·2+3·13·x7+2·2==x·x7+2·2+33·x7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2
  2. Видно, что знаменатели представлены в виде произведения, что означает ненужность дополнительных преобразований. Общим знаменателем будет считаться  произведение вида x5·ln2x+1·2x-4. Отсюда x4является дополнительным множителем к первой дроби, а ln(x+1)ко второй. После чего производим вычитание и получаем, что:
    x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x+1·x4x5·ln2(x+1)·2x-4-sin x·lnx+1×5·ln2(x+1)·(2x-4)==x+1·x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)=x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)
  3.  Данный пример имеет смысл при работе со знаменателями дробями. Необходимо применить формулы разности квадратов и квадрат суммы, так как именно они дадут возможность перейти к выражению вида 1cos x-x·cos x+x+1(cos x+x)2.  Видно, что дроби приводятся к общему знаменателю. Получаем, что cos x-x·cos x+x2.

После чего получаем, что

1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x==1cos x-x·cos x+x+1cos x+x2==cos x+xcos x-x·cos x+x2+cos x-xcos x-x·cos x+x2==cos x+x+cos x-xcos x-x·cos x+x2=2·cos xcos x-x·cos x+x2

Ответ:

1) x3+1×7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x=2·cos xcos x-x·cos x+x2.

Примеры умножения дробей с переменными

При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Тогда можно применять свойство сокращения.

Пример 8

Произвести умножение дробей x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и 3·x213·x+1-2sin2·x-x.

Решение

Необходимо выполнить умножение. Получаем, что

x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)==x-2·x·3·x213·x+1-2×2·ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)

Число 3 переносится на первое место для удобства подсчетов, причем можно произвести сокращение дроби на x2, тогда получим выражение вида

3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)

Ответ: x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)=3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x).

Деление

Деление у дробей аналогично умножению, так как первую дробь умножают на вторую обратную. Если взять к примеру дробь x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и разделить на 3·x213·x+1-2sin2·x-x, тогда это можно записать таким образом, как

x+2·xx2·ln x2·ln x+1:3·x213·x+1-2sin(2·x-x), после чего заменить произведением вида x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)

Возведение в степень

Перейдем к рассмотрению действия с дробями общего вида с возведением в степень. Если имеется степень с натуральным показателем, тогда действие рассматривают как умножение одинаковых дробей.

Но рекомендовано  использовать общий подход, базирующийся на свойствах степеней. Любые выражения А и С, где С тождественно не равняется нулю, а любое действительное r на ОДЗ для выражения вида ACr справедливо равенство ACr=ArCr.

Результат – дробь, возведенная в степень. Для примера рассмотрим:

x0,7-π·ln3x-2-5x+12,5==x0,7-π·ln3x-2-52,5x+12,5

Порядок выполнения действий с дробями

Действия над дробями выполняются по определенным правилам. На практике замечаем, что выражение может содержать несколько дробей или дробных выражений. Тогда необходимо все действия выполнять  в строгом порядке: возводить в степень, умножать, делить, после чего складывать и вычитать. При наличии скобок первое действие выполняется именно в них.

Пример 9

Вычислить 1-xcos x-1cos x·1+1x.

Решение

Так как имеем одинаковый знаменатель, то 1-xcos x и 1cos x, но производить вычитания по правилу нельзя, сначала выполняются действия в скобках, после чего умножение, а потом сложение. Тогда при вычислении получаем, что

1+1x=11+1x=xx+1x=x+1x

При подстановке выражения  в исходное получаем, что 1-xcos x-1cos x·x+1x. При умножении дробей имеем: 1cos x·x+1x=x+1cos x·x. Произведя все подстановки, получим 1-xcos x-x+1cos x·x. Теперь необходимо работать с дробями, которые имеют разные знаменатели. Получим:

x·1-xcos x·x-x+1cos x·x=x·1-x-1+xcos x·x==x-x-x-1cos x·x=-x+1cos x·x

Ответ: 1-xcos x-1cos x·1+1x=-x+1cos x·x.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/dejstvija-s-drobjami/

Дроби. Числитель и знаменатель дроби. Свойства дроби

Последовательность дробей

Если ad=bc, то две дроби \frac{a}{b}и \frac{c}{d} считаются равными. К примеру, равными будут дроби \frac35и \frac{9}{15}, так как 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9, \frac{12}{7}и \frac{24}{14}, так как 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24.

Из определения равенства дробей следует, что равными будут дроби \frac{a}{b}и \frac{am}{bm}, так как a(bm)=b(am) — наглядный пример применения сочетательного и переместительного свойств умножения натуральных чисел в действии.

Значит \frac{a}{b} = \frac{am}{bm} — так выглядит основное свойство дроби.

Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.

Сокращение дроби — это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.

Например, \frac{45}{60}=\frac{15}{20}(числитель и знаменатель делится на число 3); полученную дробь снова можно сократить, разделив на 5, то есть \frac{15}{20}=\frac 34.

Несократимая дробь — это дробь вида \frac 34, где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.

Приведение дробей к общему знаменателю

Возьмем в качестве примера две дроби: \frac{2}{3}и \frac{5}{8} с разными знаменателями 3 и 8. Для того, чтобы привести данные дроби к общему знаменателю и сначала перемножим числитель и знаменатель дроби \frac{2}{3}на 8.

Получаем следующий результат: \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}. Затем умножаем числитель и знаменатель дроби \frac{5}{8}на 3. Получаем в итоге: \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}.

Итак, исходные дроби приведены к общему знаменателю 24.

Сложение обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:

\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b};

б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а):

\frac{7}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7 \cdot 4}{3}+\frac{1 \cdot 3}{4}=\frac{28}{12}+\frac{3}{12}=\frac{31}{12}.

Вычитание обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:

\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b};

б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а).

Умножение обыкновенных дробей

Умножение дробей подчиняется следующему правилу:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d},

то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.

Например:

\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{8} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 8}=\frac{12}{40}.

Деление обыкновенных дробей

Деление дробей производят следующим способом:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d}= \frac{ad}{bc},

то есть дробь \frac{a}{b} умножается на дробь \frac{d}{c}.

Пример: \frac{7}{2} : \frac{1}{8}=\frac{7}{2} \cdot \frac{8}{1}=\frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 1}=\frac{56}{2}.

Взаимно обратные числа

Если ab=1, то число b является обратным числом для числа a.

Пример: для числа 9 обратным является \frac{1}{9}, так как 9 \cdot \frac{1}{9}=1, для числа 5 — \frac{1}{5}, так как 5 \cdot \frac{1}{5}=1.

Десятичные дроби

Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10\,000, …, 10n.

Например: \frac{6}{10}=0,6;\enspace \frac{44}{1000}=0,044.

Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10n или смешанные числа.

Например: 5\frac{1}{10}=5,1;\enspace \frac{763}{100}=7\frac{63}{100}=7,63.

В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10.

Пример: 5 — делитель числа 100, поэтому дробь \frac{1}{5}=\frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20}=\frac{20}{100}=0,2.

Сложение десятичных дробей

Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.

Вычитание десятичных дробей

Выполняется аналогично сложению.

Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3. Имеем 27 \cdot 13=351. Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=2). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51.

Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

Для умножения на 10, 100, 1000, надо в десятичной дроби перенести запятую на 1, 2, 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).

Например: 1,47 \cdot 10\,000 = 14 700.

Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:

Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12.

Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100, то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две).

Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112, то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:

Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.

2,8 : 0,09= \frac{28}{10} : \frac {9}{100}= \frac{28 \cdot 100}{10 \cdot 9}=\frac{280}{9}=31 \frac{1}{9}.

Источник: https://academyege.ru/page/drobi.html

Действия с дробями

Последовательность дробей

  • Как сократить дробь?
  • Как привести дроби к общему знаменателю?
  • Как сложить, вычесть, умножить или разделить дроби?

Тема этой статьи может показаться простой, ведь речь пойдет о вещах, которые должны быть известны с 5–6 класса. Однако многие старшеклассники и даже студенты неуверенно себя чувствуют, когда приходится работать с дробями.

В некоторых случаях человек ловко использует аппарат дифференциального исчисления для поиска экстремума, но потом не справляется со сравнением двух дробей при определении максимума функции.

Вычисление выражений вроде (414−2)⋅623(4 \frac{1}{4}-2)\cdot 6 \frac{2}{3}(441​−2)⋅632​ у многих вызывает сложности.

Для того чтобы уверенно себя чувствовать на экзамене, необходимо уметь выполнять все упражнения, встречающиеся в этой главе. Речь пойдет о сокращении дробей, а также их сложении, вычитании, умножении и делении.

Если вы не очень уверенно себя чувствуете, когда речь заходит о различных видах дробей (обыкновенные, смешанные, десятичные и т.д.), или не помните, что такое числитель или знаменатель дроби, то прочитайте статью «Дроби – справочная информация».

Сокращение дробей

Числитель и знаменатель дроби можно разделить или умножить на одно и то же число. Дробь, которую мы при этом получим, равна исходной дроби.

Когда мы делим числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы дробь стала проще, мы занимаемся сокращением дробей.

Сократим дробь 1015\frac{10}{15}1510​.
Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на 555.
1015=2⋅53⋅5=23\frac{10}{15}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\frac{2}{3}1510​=3⋅52⋅5​=32​

Перед тем как приступать к действиям с дробями, их бывает полезно сократить. Также постарайтесь сокращать слишком страшные дроби, которые получаются во время промежуточных вычислений.

Чтобы сократить дробь ab\frac{a}{b}ba​, нужно вычислить наибольший общий делитель НОД(a,b)\text{НОД}(a,b)НОД(a,b) и поделить на него числитель и знаменатель дроби.

Для того чтобы вычислить НОД\text{НОД}НОД двух чисел, используют алгоритм Евклида. Однако на практике гораздо проще постепенно делить (сокращать) числитель и знаменатель на общие делители, которые ищутся с помощью признаков делимости.

Например, можно заметить, что в дроби 2466\frac{24}{66}6624​ числитель и знаменатель – четные числа. Поэтому на 222 эту дробь точно можно сократить: 2466=1233\frac{24}{66}=\frac{12}{33}6624​=3312​. Теперь можно увидеть, что оба числа делятся на 333. Сокращаем дальше: 1233=411\frac{12}{33}=\frac{4}{11}3312​=114​. Получили несократимую дробь.

Дробь ab\frac{a}{b}ba​ является несократимой, если НОД(a,b)=1\text{НОД}(a,b)=1НОД(a,b)=1.

Сократите 3045\frac{30}{45}4530​. В ответе запишите обыкновенную дробь (через / ).

Сократите 8517\frac{85}{17}1785​.

Нет ничего проще, чем сложение дробей с одинаковым знаменателем.

Сложить 27\frac{2}{7}72​ и 37\frac{3}{7}73​ — это все равно, что сложить 222 куска торта, разрезанного на 777 частей, и 333 куска того же торта. Получится 2+3=52+3=52+3=5 кусков торта, или 57\frac{5}{7}75​.

Вычислите 35−15\frac{3}{5}-\frac{1}{5}53​−51​. В ответе запишите обыкновенную дробь (через / ).

Сложение дробей с разными знаменателями — это уже задачка посложнее. Как можно сложить, например, кусок пиццы, порезанной на 555 частей, с куском пиццы, порезанной на 444 части? Иными словами, как сложить 15\frac{1}{5}51​ пиццы и 14\frac{1}{4}41​ пиццы? Какую часть целой пиццы мы в результате получим?

Для того чтобы это сделать, необходимо порезать пиццу на еще меньшие куски. Если мы возьмем пиццу с 5⋅4=205\cdot 4=205⋅4=20 кусками, то ее 444 куска будут равны 15\frac{1}{5}51​, а 555 кусков — 14\frac{1}{4}41​ целой пиццы. Получается, что 15+14=420+520=920\frac{1}{5}+\frac{1}{4}=\frac{4}{20}+\frac{5}{20}=\frac{9}{20}51​+41​=204​+205​=209​.

То есть сначала необходимо выбрать общий знаменатель, затем привести дроби к этому знаменателю, а затем сложить числители этих дробей.

Общий знаменатель — это такое число, которое делится на каждый из знаменателей складываемых (или вычитаемых) дробей.

Например, произведение знаменателей всегда делится на каждый из знаменателей.

Найдите произведение знаменателей дробей 27\frac{2}{7}72​ и 34\frac{3}{4}43​.

Найдите произведение знаменателей дробей 15\frac{1}{5}51​ и 43\frac{4}{3}34​.

Найдите произведение знаменателей дробей 26\frac{2}{6}62​ и 32\frac{3}{2}23​.

Как же теперь привести дроби 27\frac{2}{7}72​ и 34\frac{3}{4}43​ к знаменателю 282828?

Вспоминаем, что если умножить и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же число, то значение дроби не изменится. Например, 15\frac{1}{5}51​ и 210\frac{2}{10}102​ — это одно и тоже число.

То есть нужно домножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы в знаменателе получился общий знаменатель дробей (в случае дробей 27\frac{2}{7}72​ и 34\frac{3}{4}43​ — число 282828).

Числитель и знаменатель дроби 27\frac{2}{7}72​ нужно умножить на 444:

27=2⋅47⋅4=828\frac{2}{7}=\frac{2\cdot 4}{7\cdot 4}=\frac{8}{28}72​=7⋅42⋅4​=288​,

— а числитель и знаменатель 34\frac{3}{4}43​ — на 777:

34=3⋅74⋅7=2128\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 7}{4\cdot 7}=\frac{21}{28}43​=4⋅73⋅7​=2821​.

Теперь можно без труда сложить получившиеся дроби: 828+2128=2928=1128\frac{8}{28}+\frac{21}{28}=\frac{29}{28}=1 \frac{1}{28}288​+2821​=2829​=1281​.

Общая формула, которой можно пользоваться для сложения дробей: ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}ba​+dc​=bdad+bc​

Пользуясь этой формулой, мы получим, что 13+16=1⋅6+3⋅13⋅6=918\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1\cdot 6+3\cdot 1}{3\cdot 6}=\frac{9}{18}31​+61​=3⋅61⋅6+3⋅1​=189​. Как мы видим, эту дробь можно сократить на 999. Получится 12\frac{1}{2}21​.

Наименьший общий знаменатель

Можно ли сразу получить дробь, которую не надо было бы сокращать, то есть дробь с наименьшим возможным знаменателем?

Да, можно! Для этого вместо перемножения знаменателей необходимо вычислить их наименьшее общее кратное. То есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя. Наименьшее общее кратное чисел bbb и ddd обозначается НОК(b,d)\text{НОК}(b,d)НОК(b,d).

Например:

НОК(3,6)=6\text{НОК}(3,6)=6НОК(3,6)=6

НОК(10,15)=30\text{НОК}(10,15)=30НОК(10,15)=30.

Для того чтобы вычислить НОК, требуется разложить числа на простые множители, а затем для каждого простого делителя, который входит в разложение хотя бы одного из чисел, выбрать максимальную степень, в которой он входит в разложения.

Например, чтобы вычислить НОК(45,30)\text{НОК}(45,30)НОК(45,30), разложим числа на множители:
45=3⋅3⋅545=3\cdot 3\cdot 545=3⋅3⋅5,
30=2⋅3⋅530=2\cdot 3\cdot 530=2⋅3⋅5.
Число 333 входит в разложения в максимальной степени 222, а числа 222 и 555 — в степени 111. Поэтому НОК равно 2⋅32⋅5=902\cdot 32\cdot 5=902⋅32⋅5=90.

Найдите наименьший общий знаменатель для дробей 38\frac{3}{8}83​ и 512\frac{5}{12}125​.

Найдите наименьший общий знаменатель для дробей 25\frac{2}{5}52​ и 76\frac{7}{6}67​.

Найдите наименьший общий знаменатель для дробей 285\frac{2}{85}852​ и 1817\frac{18}{17}1718​.

После того как общий знаменатель найден, нужно привести дроби к этому знаменателю. То есть домножить числитель и знаменатель каждой дроби на такое число, что в знаменателе получится общий знаменатель.

Например, для дробей 845\frac{8}{45}458​ и 730\frac{7}{30}307​ общий знаменатель равен 909090. Чтобы получить в знаменателе 909090, число 454545 нужно умножить на 222, а число 303030 — на 333. Получим:

845+730=8⋅290+7⋅390=16+2190=3790\frac{8}{45}+\frac{7}{30}=\frac{8\cdot 2}{90}+\frac{7\cdot 3}{90}=\frac{16+21}{90}=\frac{37}{90}458​+307​=908⋅2​+907⋅3​=9016+21​=9037​.

В общем виде этот подход можно описать так.

Чтобы сложить дроби ab\frac{a}{b}ba​ и cd\frac{c}{d}dc​, вычислите НОК(b,d)\text{НОК}(b,d)НОК(b,d) и числа b1=НОК(b,d)bb_1=\frac{\text{НОК}(b,d)}{b}b1​=bНОК(b,d)​ и d1=НОК(b,d)dd_1=\frac{\text{НОК}(b,d)}{d}d1​=dНОК(b,d)​.

Тогда ab+cd=a⋅b1b⋅b1+c⋅d1d⋅d1=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot b_1}{b\cdot b_1}+\frac{c\cdot d_1}{d\cdot d_1}=ba​+dc​=b⋅b1​a⋅b1​​+d⋅d1​c⋅d1​​==ab1НОК(b,d)+cd1НОК(b,d)=ab1+cd1НОК(b,d)=\frac{ab_1}{\text{НОК}(b,d)}+\frac{cd_1}{\text{НОК}(b,d)}=\frac{ab_1+cd_1}{\text{НОК}(b,d)}=НОК(b,d)ab1​​+НОК(b,d)cd1​​=НОК(b,d)ab1​+cd1​​

То, что написано выше, выглядит сложно, однако при достаточной тренировке этот метод сложения является самым эффективным.

Найдите сумму дробей 718\frac{7}{18}187​ и 724\frac{7}{24}247​. В ответе запишите обыкновенную дробь (через / ).

Найдите сумму дробей 913\frac{9}{13}139​ и 139\frac{1}{39}391​. В ответе запишите обыкновенную дробь (через / ).

Найдите сумму дробей 334\frac{3}{34}343​ и 910\frac{9}{10}109​. В ответе запишите обыкновенную дробь (после сокращения, через / ).

Умножать и делить дроби проще, чем складывать и вычитать.

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители, перемножить их знаменатели, а затем поделить первое произведение на второе:ab⋅cd=a⋅cb⋅d\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}ba​⋅dc​=b⋅da⋅c​

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно вторую дробь сначала «перевернуть», а затем перемножить первую дробь и перевернутую вторую дробь:ab÷cd=ab⋅dc=a⋅db⋅c\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}ba​÷dc​=ba​⋅cd​=b⋅ca⋅d​

Найдите произведение 611\frac{6}{11}116​ и 23\frac{2}{3}32​. В ответе запишите обыкновенную дробь (после сокращения, через / ).

Перед умножением и делением дроби лучше сокращать, чтобы работать с меньшими числами. При этом сокращать дроби можно и «по диагонали» (перед умножением): сокращать числитель одной дроби со знаменателем другой дроби.

Рассмотрим произведение 611⋅23\frac{6}{11}\cdot\frac{2}{3}116​⋅32​. Числитель первой дроби и знаменатель второй дроби делятся на 333. Отсюда:

611⋅23=3⋅211⋅23⋅1=211⋅21=2⋅211⋅1=411\frac{6}{11}\cdot\frac{2}{3}=\frac{3\cdot 2}{11}\cdot\frac{2}{3\cdot 1}=\frac{2}{11}\cdot\frac{2}{1}=\frac{2\cdot 2}{11\cdot 1}=\frac{4}{11}116​⋅32​=113⋅2​⋅3⋅12​=112​⋅12​=11⋅12⋅2​=114​.

Приведем еще один пример. Пусть нам надо умножить 3539\frac{35}{39}3935​ на 2625\frac{26}{25}2526​.

Если решать этот пример «в лоб», придется найти произведения 35⋅2635\cdot 2635⋅26 и 39⋅2539\cdot 2539⋅25, а делать это очень не хочется.

Зато можно заметить, что числитель первой дроби и знаменатель второй дроби делятся на 555, а числитель второй дроби и знаменатель первой дроби делятся на 131313. Сократим дроби перед умножением:

3539⋅2625=5⋅73⋅13⋅2⋅135⋅5=73⋅25=7⋅23⋅5=1415\frac{35}{39}\cdot \frac{26}{25}=\frac{5\cdot 7}{3\cdot 13}\cdot\frac{2\cdot 13}{5\cdot 5}=\frac{7}{3}\cdot\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 2}{3\cdot 5}=\frac{14}{15}3935​⋅2526​=3⋅135⋅7​⋅5⋅52⋅13​=37​⋅52​=3⋅57⋅2​=1514​

Вычислите 13÷16\frac{1}{3}\div \frac{1}{6}31​÷61​.

Вычислите 2324÷4636\frac{23}{24}\div\frac{46}{36}2423​÷3646​.

А как умножить, например, 3233 \frac{2}{3}332​ на 1271 \frac{2}{7}172​?

Если вам даны смешанные дроби, всегда преобразовывайте их в неправильные простые дроби, прежде чем умножать, делить, возводить в степень или извлекать корень.

323⋅127=113⋅97=9921=337=4573 \frac{2}{3} \cdot 1 \frac{2}{7}= \frac{11}{3} \cdot \frac{9}{7}=\frac{99}{21}=\frac{33}{7}=4 \frac{5}{7}332​⋅172​=311​⋅79​=2199​=733​=475​.

Перемножьте 1121 \frac{1}{2}121​ и 1131 \frac{1}{3}131​.

Многие школьники, пренебрегая этим простым правилом, совершают ошибки в примерах, подобных этому: 449÷494 \frac{4}{9}\div \frac{4}{9}494​÷94​.

В таком примере возникает желание срезать углы, сократить что-нибудь раньше времени.

А какой ответ в примере 449÷494 \frac{4}{9}\div \frac{4}{9}494​÷94​ на самом деле правильный?

Источник: https://lampa.io/p/%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F-%D1%81-%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D1%8F%D0%BC%D0%B8-000000000244b193351cbbe5556c10c8

Сложные выражения с дробями. Порядок действий

Последовательность дробей

8 августа 2011

Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

  1. Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
  2. Затем — деление и умножение;
  3. Последним шагом выполняется сложение и вычитание.

Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

Задача. Найдите значения выражений:

Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление. Заметим, что 14 = 7 · 2. Тогда:

Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3, имеем:

Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.

Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:

Многоэтажные дроби

До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:

Здесь и далее мы будем называть эти дроби многоэтажными. Однако имейте в виду, что общепризнанного названия у них нет, и в разных учебниках могут встречаться другие определения.

Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:

Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:

В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

Специфика работы с многоэтажными дробями

В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:

Это выражение можно прочитать по-разному:

  1. В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
  2. В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.

Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.

Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

Задача. Найдите значения выражений:

Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:

Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:

Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.

Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.

Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.

Источник: https://www.berdov.com/docs/fraction/complex_expressions/

Приведение дробей к общему знаменателю

Пусть даны две дроби и . Они имеют разные знаменатели: 5 и 7. Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить эти дроби другими, равными им, причём такими, что у полученных дробей будут одинаковые знаменатели. Умножив числитель и знаменатель дроби на 7, получим

.

Умножив числитель и знаменатель дроби на 5, получим

.

Итак, дроби приведены к общему знаменателю:

.

Но это не единственное решение поставленной задачи: например, данные дроби можно привести также к общему знаменателю 70:

,

и вообще к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 5 и 7.

Рассмотрим ещё один пример: приведём к общему знаменателю дроби и . Рассуждая, как в предыдущем примере, получим

,

.

Но в данном случае можно привести дроби к общему знаменателю, меньшему, чем произведение знаменателей этих дробей. Найдём наименьшее общее кратное чисел 24 и 30: НОК(24, 30) = 120.

Так как 120:4=5, то чтобы записать дробь со знаменателем 120, надо и числитель, и знаменатель умножить на 5, это число называется дополнительным множителем. Значит .

Далее, получаем 120:30=4. Умножив числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 4, получим .

Итак, данные дроби приведены к общему знаменателю.

Наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей является наименьшим возможным общим знаменателем.

На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.

Для дробных выражений, в которые входят переменные, общим знаменателем является многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.

Пример 2. Найти общий знаменатель дробей и .

Решение. Общим знаменателем данных дробей является многочлен , так как он делится и на , и на . Однако этот многочлен не единственный, который может быть общим знаменателем данных дробей.

Им может быть также многочлен , и многочлен , и многочлен и т.д. Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на выбранный без остатка.

Такой знаменатель называется наименьшим общим знаменателем.

В нашем примере наименьший общий знаменатель равен . Получили:

;

.

Нам удалось привести дроби к наименьшему общему знаменателю. Это произошло путём умножения числителя и знаменателя первой дроби на , а числителя и знаменателя второй дроби — на . Многочлены и называются дополнительными множителями, соответственно для первой и для второй дроби.

Сложение и вычитание дробей

Сложение дробей определяется следующим образом:

.

Например,

.

Если b = d, то

.

Это значит, что для сложения дробей с одинаковым знаменателем достаточно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Например,

.

Если же складываются дроби с разными знаменателями, то обычно приводят дроби к наименьшему общему знаменателю, а потом складывают числители. Например,

.

На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.

Теперь рассмотрим пример сложения дробных выражений с переменными.

Пример 3. Преобразовать в одну дробь выражение

.

Решение. Найдём наименьший общий знаменатель. Для этого сначала разложим знаменатели на множители:

1) ;

2) ;

3) .

Наименьший общий знаменатель:

Дополнительные множители, на которые умножаются числители дробей:

1) 6;

2) ;

3) .

Результат этого умножения:

.

Далее, раскрывая скобки и выполняя тождественные преобразования, получаем

.

Умножение и деление дробей

Произведение двух дробей и равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей, т. е. .

Например,

.

При делении дроби на дробь числитель делимого умножается на знаменатель делителя, а знаменатель делимого — на числитель делителя, т. е. .

Например,

.

Свойства пропорции

1. Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов, т. е. если , то .

2. Из пропорции вытекают следующие пропорции: , , , то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

3. Чтобы найти неизвестный средний (крайний) член пропорции, нужно произведение крайних (средних) членов пропорции разделить на известный средний (крайний) член пропорции: и .

Представление рациональной дроби в виде суммы простейших дробей

В высшей математике это действие с дробями чаще всего применяется при интегрировании рациональных функций. Поэтому оно подробно разобрано в уроке Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Действия со степенями и корнями Решение квадратных уравнений Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение

Источник: https://function-x.ru/parts.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.

    ×
    Рекомендуем посмотреть