Последовательности

Числовые последовательности

      Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число  xn ,  то говорят, что задана числовая последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

      Число x1 называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности, число x2 – членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число xn называют членом последовательности с номеромn .

      Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью формулы общего члена последовательности и с помощью рекуррентной формулы.

      Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности

x1 ,  x2 , … xn , …

с помощью формулы, выражающей зависимость члена xn от его номера n .

      Пример 1.  Числовая последовательность

1, 4, 9, … n2 , …

задана с помощью формулы общего члена

xn = n2,       n = 1, 2, 3, …

      Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности  xn через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы.

      Пример 2 (Числа Фибоначчи). Числовая последовательность

1,  1,  2,  3,  5,  8,  13,  21,  34,  55, …

может быть задана с помощью рекуррентной формулы

xn = xn – 1 + xn – 2 ,       n > 2 ,

с начальными условиями

x1 = 1,       x2 = 1 .

Возрастающие и убывающие последовательности

      Определение 1. Числовую последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

называют возрастающей последовательностью, если каждый член этой последовательности больше предшествующего члена.

      Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

xn + 1 > xn

      Пример 3. Последовательность натуральных чисел

1, 2, 3, … n, …

является возрастающей последовательностью.

      Определение 2. Числовую последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.

      Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

xn + 1 < xn

      Пример 4. Последовательность

заданная формулой

является убывающей последовательностью.

      Пример 5. Числовая последовательность

1, – 1, 1, – 1, …

заданная формулой

xn = (– 1)n,       n = 1, 2, 3, …

не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

      Определение 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями.

Ограниченные и неограниченные последовательности

      Определение 4. Числовую последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M.

      Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

xn < M

      Определение 5. Числовую последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m.

      Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

xn > m

      Определение 6. Числовую последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

      Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

m < xn < M

      Пример 6. Числовая последовательность

1, 4, 9, … n2 , …

заданная формулой

xn = n2,       n = 1, 2, 3, … ,

ограничена снизу, например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху.

      Пример 7 .  Последовательность

заданная формулой

является ограниченной последовательностью, поскольку для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/matan/sequence.htm

Числовая последовательность

Например, правило «все положительные четные числа по возрастанию начиная с двойки» задает последовательность: \(2; 4; 6; 8; 10…\) А правило «первое число равно \(3\), а каждое следующее число в два раза больше предыдущего» формирует последовательность: \(3; 6; 12; 24; 48….\)

Ниже разобраны несколько разных способов задания числовых последовательностей.

Числа, образующие последовательность, называются ее членами (или элементами). И каждое из этих чисел имеет свой порядковый номер

Например, в последовательности \(3; 6; 12; 24; 48…\) тройка является первым членом (порядковый номер – один), шестерка – вторым (ее номер по порядку равен двум), двенадцать – третьим и т.д.

В математике последовательность обозначают маленькой латинской буквой, а каждый отдельный ее элемент – той же буквой с числовым индексом равным порядковому номеру этого элемента

То есть, если последовательность \(3; 6; 12; 24; 48…\) обозначить как \(a_n\), то можно записать, что \(a_1=3\), \(a_2=6\), \(a_3=12\), \(a_4=24\) и так далее.

Иными словами, для последовательности \(a_n=\{ 3;\: 6; \:12; \: 24; \: 48; \: 96; \: 192; \: 384…\}\).

Отметим, что членами последовательности необязательно должны быть различные числа. Она может состоять из одних и тех же чисел, например, выглядеть вот так: \(1; \: 1; \: 1; \: 1…\) .

Все способы формирования числовых последовательностей можно разделить на три большие группы:

– I способ: словесный. Здесь все просто – в буквальном смысле словами описывается каким образом можно вычислить элементы искомой последовательности.

Пример: Напишите первые пять членов последовательности квадратов натуральных чисел.

Решение: Натуральными называют числа, возникающие естественным образом при счете количества предметов, то есть: \(1; \: 2; \: 3; \: 4; \: 5\) и т.д.

Нашу же последовательность формируют квадраты этих чисел, то есть \(12;\: 22; \: 32; \: 42; \: 52…\) . Таким образом, имеем ответ: \(1; \: 4; \: 9; \: 16; \: 25…\)

Ответ: \(1; \: 4; \: 9; \: 16; \: 25…\)

Отметим, что последовательности в начале статьи заданы именно словесным способом.

– II способ: аналитический (формулой энного члена). Тут значение каждого элемента последовательности вычисляется по некоторой формуле, в которую подставляется порядковый номер этого элемента.

Пример: Последовательность задана формулой: \(b_n=\frac{n-1}{n2}\). Вычислите первые пять членов этой последовательности.

Решение: Вычислим \(b_1\). Это первый член последовательности, то есть его порядковый номер \(n\) равен единице. Тогда его значение равно \(b_1=\frac{1-1}{12} =\frac{0}{1}=0\).

У второго члена \(n=2\), то есть его значение равно \(b_2=\frac{2-1}{22} =\frac{1}{4}\). Третий (\(n=3\)):    \(b_3=\frac{3-1}{32} =\frac{2}{9}\). Четвертый (\(n=4\)):     \(b_4=\frac{4-1}{42} =\frac{3}{16}\). Пятый (\(n=5\)):     \(b_5=\frac{5-1}{52} =\frac{4}{25}\) . Готово. Можно писать ответ.

Ответ: \(b_n= \{0; \: \frac{1}{4}; \: \frac{2}{9}; \: \frac{3}{16}; \: \frac{4}{25}…\}\).

Обратите внимание, что при таком задании последовательности, значение каждого элемента зависит только от его порядкового номера. И поэтому, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, мы можем это сделать сразу, не вычисляя предыдущие четырнадцать.

Пример: Последовательность задана формулой: \(a_n=8+5n-n2\). Вычислите \(a_9\).

Решение: Нужно вычислить значение девятого элемента, то есть порядковый номер \(n=9\). Подставляем в формулу: \(a_9=8+5·9-92=8+45-81=-28\).

Ответ: \(a_9=-28\).

III способ: рекуррентное соотношение. Звучит страшно, но суть проста – здесь дается начало последовательности (один или несколько первых элементов) и правило, по которому из предыдущего (или нескольких предыдущих) членов последовательности можно вычислить следующий.

Пример: Последовательность задана условиями: \(c_1=4\), \(c_{n+1}=c_n+3\). Вычислите первые пять членов этой последовательности.

Решение: Первый член нам известен: \(c_1=4\).

Второй мы получим, подставив в формулу вместо \(n\) единицу: \(c_{1+1}=c_1+3\)                                                                                                                      \(c_2=c_1+3=4+3=7\) Третий (\(n=2\)):   \(c_{2+1}=c_2+3 \)

                                 \(c_3=c_2+3=7+3=10\).

Четвертый (\(n=3\)):     \(c_{3+1}=c_3+3\)
                                         \(c_4=c_3+3=10+3=13\).

Пятый (\(n=4\)):   \(c_{4+1}=c_4+3\)
                              \(c_5=c_4+3=13+3=16\).

Нужные пять элементов вычислены. Теперь можно записывать ответ.

Ответ: \(c_n=\{4; \: 7; \: 10; \: 13; \: 16…\}\).

В этом примере мы по сути получали следующий элемент из предыдущего путем прибавления к предыдущему тройки. Логично, ведь формула \(c_{n+1}=c_n+3\) требовала именно этого. В ней \(c_n\) – это предыдущий элемент, а \(c_{n+1}\) – следующий за ним (ведь его номер на единицу больше).

Пример: У последовательности известны первые два элемента \(z_1=2;\)   \(z_2=5\). Так же известна формула следующего элемента \(z_{n+2}=3z_{n+1}-z_n\). Вычислите значения третьего, четвертого и пятого членов.

Решение: Слева будем писать текущую последовательность, а справа вести вычисления очередного элемента.

Ответ: \(c_3=13\); \(c_4=34\); \(c_5=89\).

Важное отличие рекуррентного способа задания последовательности от аналитического – при рекуррентном мы не можем посчитать следующий элемент, не зная предыдущих. То есть, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, придется сначала вычислить все, что идут до него.

Во всех предыдущих примерах мы находили значения элементов последовательности – чему равен третий, пятый или девятый член. Иначе говоря, выясняли какое именно число стоит в последовательности на таком-то месте.

Но в практике встречается также обратная задача – значение известно и надо выяснить, есть ли оно среди элементов некоторой последовательности? А если есть, то на каком месте?

Пример (ОГЭ): Какое из чисел ниже есть среди членов последовательности \(a_n=n2-n\):

а) \(1\)               б) \(3\)               в) \(6\)              г) \(10\) ?

Решение: Из условия задачи понятно, что одно из этих чисел точно является элементом последовательности. Поэтому мы можем просто вычислять элементы по очереди, пока не найдем нужный:

\(a_1=12-1=0\) – мимо.

\(a_2=22-2=2\) – тоже не то.

\(a_3=32-3=6\) – есть!

Нужный элемент найден.

Ответ: \(6\).

Такой метод решения годится только если заранее известно, что элемент точно в последовательности есть. Потому что если его вдруг там нет – это можно проверять вечность, последовательность ведь бесконечна!

Поэтому в такой ситуации пользуются следующим алгоритмом:

1. Подставляют заданное число в формулу \(n\) -го члена вместо \(a_n\); 

2. Решая полученное уравнение, находят неизвестное \(n\); 

3. Если \(n\) – натуральное, то данное число – член последовательности.

Пример: Выяснить, является ли число \(3\) членом последовательности \(a_n=\)\(\frac{51+2n}{n+4}\) ?

Решение:

Ответ: Да, число \(3\) является элементом данной последовательности.

Смотри также:
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия

Скачать статью

Источник: http://cos-cos.ru/math/94/

Значение слова ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. Что такое ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ?

• ПОСЛЕ́ДОВАТЕЛЬНОСТЬ, -и, ж.Свойство по знач. прил. последовательный. Последовательность событий. Политическая последовательность коммунистов. Последовательность в рассуждениях. □ Слои со следами жизни лежат в земле один поверх другого — в той последовательности, в какой сменялись эпохи. А. Варшавский, Города раскрывают тайны. Валентина поражалась тщательности кропотливого анализа, его логичности и последовательности. Николаева, Жатва.

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

• Последовательность — это такой набор элементов некоторого множества, что:для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. Если любой конечный набор элементов называют выборкой конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма.Последовательность по своей природе — отображение, поэтому его не следует смешивать с множеством, которое «пробегает» последовательность.В математике рассматривают различные типы последовательностей:числовые последовательности;временны́е ряды как числовой, так и не числовой природы;последовательности элементов метрического пространства;последовательности элементов функционального пространства;последовательности состояний систем управления и автоматов.Целью изучения всевозможных последовательностей является поиск закономерностей, прогноз будущих состояний и генерация последовательностей.

Источник: Википедия

• ПОСЛЕ'ДОВАТЕЛЬНОСТЬ, и, мн. нет, ж. (книжн.). Отвлеч. сущ. к последовательный. П. каких-н. явлений. П. в смене приливов и отливов. П. в рассуждениях.

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

Источник: Викисловарь

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: убывать — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Ассоциации к слову «последовательность»

• порядок
• очередь
• след
• следовать
• очерёдность
• (ещё…)

Предложения со словом «последовательность»:

• Действительно, создать полную картину последовательности событий никак не удавалось.
• Это люди, которые создают оптимальные условия для работы и показывают подопечным наиболее эффективную для них последовательность действий.
• Лишь пройдя такой курс, учитель проводил повторение изученного в систематической и хронологической последовательности.
• (все предложения)

Понятия со словом «последовательность»

• Диаграмма последовательности (англ. sequence diagram) — диаграмма, на которой для некоторого набора объектов на единой временной оси показан жизненный цикл какого-либо определённого объекта (создание-деятельность-уничтожение некой сущности) и взаимодействие актёров (действующих лиц) ИС в рамках какого-либо определённого прецедента (отправка запросов и получение ответов). Используется в языке UML.
• Преобразование последовательностей — оператор, действующий на пространстве последовательностей. Преобразование последовательностей включает в себя такие понятия, как свёртка одной последовательности с другой, их суммирование и биномиальные преобразования, а также преобразования Мёбиуса и Стрилинга. Преобразования последовательности могут использоваться для ускорения сходимости ряда.
• Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.
• Консервати́вные после́довательности (англ. conserved sequences) — схожие или идентичные последовательности, встречающиеся в биологических полимерах: нуклеиновых кислотах, первичной и пространственной структурах белков, полисахаридах как в пределах особей разных видов (ортологичные последовательности), так и в пределах одной особи (паралогичные последовательности). Ортологичные последовательности являются подтверждением того, что определённые последовательности могут поддерживаться эволюцией, несмотря…
• (все понятия)

Дополнительно:

Источник: https://kartaslov.ru/%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0/%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C

Свойства числовых последовательностей

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Определение.Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y1 = 1; yn = n2– возрастающая последовательность.

Пример 2. y1 = 1; – убывающая последовательность.

Пример 3. y1 = 1; – эта последовательность не является не возрастающей не убывающей.

Определение.Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T,что начиная с некоторого n, выполняется равенство yn = yn+T. Число T называется длиной периода.

Пример. Последовательность периодична с длиной периода T = 2.

Арифметическая прогрессия

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметическойпрогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность {an}, заданная рекуррентно соотношениями

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

(a и d – заданные числа).

Пример. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой a1 = 1, d = 2.

Пример. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия, у которой a1 = 20, d = –3.

Нетрудно найти явное (формульное) выражение anчерез n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет на величину (n – 1)d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е.

an = a1 + d(n – 1).

Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

Используя явное выражение anчерез n, можно доказать следующее свойство арифметической прогрессии: если натуральные числа i, j, k, l таковы, что i + j = k + l, то ai + aj= ak + al.

Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить i, j, k и l вместо n в формулу n-го члена арифметической прогрессии и сложить.

a1 + an = a2 + an–1 = a3 + an–2 = … = 2a1 + (n – 1)d.

Последнее равенство позволяет вычислить сумму первых n членов арифметической прогрессии:

Sn = a1 + a2 + … + an–1 + an.

С этой целью берется еще одна такая же сумма, но слагаемые записывается в обратном порядке:

Sn = an + an–1 + … + a2 + a1.

Далее она складывается почленно с исходной суммой, причем слагаемые сразу попарно группируются. В результате

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an–1) + … + (an + a1) = n(2a1 + (n – 1)d),

откуда . Это формула суммы n членов арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессия названа потому, что в ней каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним – предыдущего и последующего. Действительно, так как

an = an–1 + d;

an = an+1 – d.

Сложение двух последних равенств дает .

Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.

Геометрическая прогрессия

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {bn}, заданная рекуррентно соотношениями

b1 = b, bn = bn–1q (n = 2, 3, 4…).

(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b1 > 0, q > 1, и убывающей, если b1 > 0, 0 < q < 1.

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.

b12, b22, b32, …, bn2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b12, а знаменатель – q2.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид

bn = b1qn–1.

Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

b1, b2, b3, …, bn

пусть Sn – сумма ее членов, т.е.

Sn= b1 + b2+ b3 + … + bn.

Принимается, что q № 1. Для определения Snприменяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения Snq.

Тогда

Snq = (b1 + b2 + b3+ … + bn–1 + bn)q = b2 + b3 + b4 + …+ bn + bnq = Sn+ bnq – b1.

Таким образом, Snq = Sn + bnq – b1 и, следовательно,

.

Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.

При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае Sn = a1n.

Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как

bn= bn-1q;

bn= bn+1/q,

числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.

Предел последовательности

Пусть есть последовательность {cn} = {1/n}. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами.

Среднее геометрическое чисел a и b есть число , или . С ростом n все члены геометрической прогрессии убывают и их значение приближается к нулю.

В этом случае принято говорить, что при n, стремящемся к бесконечности, данная последовательность сходится и нуль есть ее предел. Записывается это так:

.

Строгое определение предела формулируется следующим образом:

Если существует такое число A, что для любого (сколь угодно малого) положительного числа ε найдется такое натуральное N (вообще говоря, зависящее от ε), что для всех n ≥ N будет выполнено неравенство |an – A| < ε, то говорят, что последовательность {an} сходится и A – ее предел.

Обозначается это так: .

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {cn} = {1/n}. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

.

Существует ли такое N, что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N < ε? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε, то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N < ε , что и требовалось доказать.

Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 4. Если последовательности {an} и {bn} имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {pan + qbn} имеет предел pA + qB.

Теорема 5. Если последовательности {an} и {bn}имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {anbn} имеет предел AB.

Теорема 6. Если последовательности {an} и {bn} имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, bn ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {an / bn} имеет предел A/B.

Анна Чугайнова

Источник: https://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/CHISLOVAYA_POSLEDOVATELNOST.html

Определение числовой последовательности

Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа.

Определение.
Числовой последовательностью {xn} называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . ставится в соответствие некоторое число xn.
Элемент xn называют n-м членом или элементом последовательности.

Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

Последовательность обозначается в виде n-го члена, заключенного в фигурные скобки: . Также возможны следующие обозначения: . В них явно указывается, что индекс n принадлежит множеству натуральных чисел и сама последовательность имеет бесконечное число членов. Вот несколько примеров последовательностей:
,   ,   .

Другими словами числовая последовательность – это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов.

Главным образом нас будет интересовать вопрос – как ведут себя последовательности, при n стремящемся к бесконечности: . Этот материал излагается в разделе Предел последовательности – основные теоремы и свойства. А здесь мы рассмотрим несколько примеров последовательностей.

Примеры неограниченно возрастающих последовательностей

Рассмотрим последовательность . Общий член этой последовательности . Выпишем несколько первых членов:
.
Видно, что с ростом номера n, элементы неограниченно возрастают в сторону положительных значений. Можно сказать, что эта последовательность стремится к : при .

Теперь рассмотрим последовательность с общим членом . Вот ее несколько первых членов:
.
С ростом номера n, элементы этой последовательности неограниченно возрастают по абсолютной величине, но не имеют постоянного знака. То есть эта последовательность стремится к : при .

Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу

Рассмотрим последовательность . Ее общий член . Первые члены имеют следующий вид:
.
Видно, что с ростом номера n, элементы этой последовательности приближаются к своему предельному значению a = 0: при . Так что каждый последующий член ближе к нулю, чем предыдущий.

В каком-то смысле можно считать, что есть приближенное значение для числа a = 0 с погрешностью . Ясно, что с ростом n эта погрешность стремится к нулю, то есть выбором n, погрешность можно сделать сколь угодно малой.

Причем для любой заданной погрешности ε > 0 можно указать такой номер N, что для всех элементов с номерами большими чем N: , отклонение числа от предельного значения a не превзойдет погрешности ε: .

Далее рассмотрим последовательность . Ее общий член . Вот несколько ее первых членов:
.
В этой последовательности члены с четными номерами равны нулю. Члены с нечетными n равны . Поэтому, с ростом n, их величины приближаются к предельному значению a = 0. Это следует также из того, что
.

Также как и в предыдущем примере, мы можем указать сколь угодно малую погрешность ε > 0, для которой можно найти такой номер N, что элементы, с номерами большими чем N, будут отклоняться от предельного значения a = 0 на величину, не превышающую заданной погрешности.

Поэтому эта последовательность сходится к значению a = 0:   при  .

Примеры расходящихся последовательностей

Рассмотрим последовательность со следующим общим членом:
Вот ее первые члены:

. Видно, что члены с четными номерами:

,

сходятся к значению a1 = 0. Члены с нечетными номерами:
,
сходятся к значению a2 = 2. Сама же последовательность, с ростом n, не сходится ни к какому значению.

Последовательность с членами, распределенными в интервале (0;1)

Теперь рассмотрим более интересную последовательность. На числовой прямой возьмем отрезок [0;1]. Поделим его пополам. Получим два отрезка. Пусть
. Каждый из отрезков снова поделим пополам. Получим четыре отрезка. Пусть

.

Каждый отрезок снова поделим пополам. Возьмем

.
И так далее.

В результате получим последовательность, элементы которой распределены в открытом интервале (0; 1). Какую бы мы ни взяли точку из закрытого интервала [0; 1], мы всегда можем найти члены последовательности, которые окажутся сколь угодно близко к этой точке, или совпадают с ней.

Тогда из исходной последовательности можно выделить такую подпоследовательность, которая будет сходиться к произвольной точке из интервала [0; 1]. То есть с ростом номера n, члены подпоследовательности будут все ближе подходить к наперед выбранной точке.

Для точки a = 1 выберем такую подпоследовательность:
.
Члены этой подпоследовательности сходятся к значению a = 1.

Поскольку существуют подпоследовательности, сходящиеся к различным значениям, то сама исходная последовательность не сходится ни к какому числу.

Последовательность, содержащая все рациональные числа

Теперь построим последовательность, которая содержит все рациональные числа. Причем каждое рациональное число будет входить в такую последовательность бесконечное число раз.

Рациональное число r можно представить в следующем виде:
,
где – целое; – натуральное.
Нам нужно каждому натуральному числу n поставить в соответствие пару чисел p и q так, чтобы любая пара p и q входила в нашу последовательность.

Для этого на плоскости проводим оси p и q. Проводим линии сетки через целые значения p и q. Тогда каждый узел этой сетки с будет соответствовать рациональному числу. Все множество рациональных чисел будет представлено множеством узлов.

Нам нужно найти способ пронумеровать все узлы, чтобы не пропустить ни один узел. Это легко сделать, если нумеровать узлы по квадратам, центры которых расположены в точке (0; 0) (см. рисунок). При этом нижние части квадратов с q < 1 нам не нужны.

Поэтому они не отображены на рисунке.

Итак, для верхней стороны первого квадрата имеем:
. Далее нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
. Нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
.
И так далее.

Таким способом мы получаем последовательность, содержащую все рациональные числа. Можно заметить, что любое рациональное число входит в эту последовательность бесконечное число раз. Действительно, наряду с узлом , в эту последовательность также будут входить узлы , где – натуральное число. Но все эти узлы соответствуют одному и тому же рациональному числу .

Тогда из построенной нами последовательности, мы можем выделить подпоследовательность (имеющую бесконечное число элементов), все элементы которой равны наперед заданному рациональному числу. Поскольку построенная нами последовательность имеет подпоследовательности, сходящиеся к различным числам, то последовательность не сходится ни к какому числу.

Заключение

Здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Точное определение сходимости рассматривается на странице Определение предела последовательности. Связанные с этим свойства и теоремы изложены на странице Предел последовательности – основные теоремы и свойства.

Олег Одинцов.     : 21-08-2017

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/mnozhestva/opredelenie-chislovoj-posledovatelnosti/