Равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник • ru.knowledgr.com

Равносторонний треугольник.

В геометрии равносторонний треугольник — треугольник, в котором все три стороны равны. В традиционной или Евклидовой геометрии равносторонние треугольники также equiangular; то есть, все три внутренних угла также подходящие друг другу и являются каждым 60 °. Они — регулярные многоугольники и могут поэтому также упоминаться как регулярные треугольники.

Основные свойства

Обозначая общую длину сторон равностороннего треугольника как a, мы можем определить использование теоремы Пифагора что:

  • Область —
  • Периметр —
  • Радиус ограниченного круга —
  • Радиус надписанного круга или
  • Геометрический центр треугольника — центр ограниченных и надписанных кругов
  • И высота (высота) с любой стороны.

У

многих из этих количеств есть простые отношения к высоте («h») каждой вершины от противоположной стороны:

  • Область —
  • Высота центра с каждой стороны —
  • Радиус круга, ограничивающего эти три вершины, является
  • Радиус надписанного круга —

В равностороннем треугольнике совпадают высоты, угловые средние линии, перпендикулярные средние линии и медианы каждой стороне.

Характеристики

ABC треугольника, у которой есть стороны a, b, c, полупериметр s, область Т, экс-радиусы r, r, r (тангенс к a, b, c соответственно), и где R и r — радиусы circumcircle и incircle соответственно, равносторонняя, если и только если любое из заявлений в следующих девяти категориях верно. Таким образом это свойства, которые уникальны для равносторонних треугольников.

Равный cevians

Три вида cevians равны для (и только для) равносторонние треугольники:

У

  • этих трех высот есть равные длины.

У

  • этих трех медиан есть равные длины.

У

  • трех угловых средних линий есть равные длины.

Совпадающие центры треугольника

Каждый центр треугольника равностороннего треугольника совпадает с его средней точкой, и для некоторых пар центров треугольника, факта, что они совпадают, достаточно, чтобы гарантировать, что треугольник равносторонний. В особенности:

Шесть треугольников, сформированных, деля медианами

Для любого треугольника эти три медианы делят треугольник в шесть меньших треугольников.

  • Треугольник равносторонний, если и только если у любых трех из меньших треугольников есть или тот же самый периметр или тот же самый радиус вписанной окружности.
  • Треугольник равносторонний, если и только если у circumcenters любых трех из меньших треугольников есть то же самое расстояние от средней точки.

Пункты в самолете

  • Треугольник равносторонний если и только если, для каждогопункта P в самолете, с расстояниями p, q, и r сторонам треугольника и расстояниями x, y, и z к его вершинам,

::

Известные теоремы

trisector теорема Морли заявляет, что в любом треугольнике три пункта пересечения смежного угла trisectors формируют равносторонний треугольник.

Теорема Наполеона заявляет, что, если равносторонние треугольники построены на сторонах какого-либо треугольника, или все направленные наружу, или все внутрь, центры тех равносторонних треугольников самих формируют равносторонний треугольник.

Версия isoperimetric неравенства для треугольников заявляет, что треугольник самой большой области среди всех те с данным периметром равносторонние.

Теорема Вивиэни заявляет что, для любой внутренней точки P в равностороннем треугольнике, с расстояниями d, e, и f со сторон, d + e + f = высота треугольника, независимого от местоположения P.

Теорема Помпеиу заявляет, что, если P — произвольная точка в ABC равностороннего треугольника, то там существует треугольник со сторонами длины PA, PB и PC.

Другие свойства

Неравенством Эйлера у равностороннего треугольника есть самое маленькое отношение R/r circumradius к радиусу вписанной окружности любого треугольника: определенно, R/r = 2.

Треугольник самой большой области всех надписанные в данном кругу равносторонние; и треугольник самой маленькой области всех ограниченные вокруг данного круга равносторонние.

Отношение области incircle в область равностороннего треугольника, больше, чем тот из любого неравностороннего треугольника.

Отношение области к квадрату периметра равностороннего треугольника, больше, чем это для любого другого треугольника.

Если сегмент разделяет равносторонний треугольник на две области с равными периметрами и с областями A и A, то

:

Учитывая пункт P в интерьере равностороннего треугольника, отношение суммы его расстояний от вершин до суммы его расстояний от сторон равняется 2 и является меньше, чем тот из любого другого треугольника.

Это — неравенство Erdős–Mordell; более сильный вариант его — неравенство Барроу, которое заменяет перпендикулярные расстояния до сторон с расстояниями от P до пунктов, где угловые средние линии ∠APB, ∠BPC, и ∠CPA пересекают стороны (A, B, и C быть вершинами).

Для любого пункта P в самолете, с расстояниями p, q, и t от вершин A, B, и C соответственно,

:

Для любого пункта P на надписанном круге равностороннего треугольника, с расстояниями p, q, и t от вершин,

:

и

:

Для любого пункта P на незначительной дуге до н.э circumcircle, с расстояниями p, q, и t от A, B, и C соответственно,

:

и

:

кроме того, если пункт D на стороне до н.э делит PA на ФУНТ сегментов и DA с DA наличие длины z и ФУНТА, имеющего длину y, то

:

который также равняется если tq; и

:

который является оптическим уравнением.

Равносторонний треугольник — самый симметрический треугольник, имея 3 линии отражения и вращательную симметрию приказа 3 о ее центре. Его группа симметрии — образуемая двумя пересекающимися плоскостями группа приказа 6 D.

Равносторонние треугольники — единственные треугольники, Штайнер которых inellipse является кругом (определенно, это — incircle).

Равносторонние треугольники найдены во многих других геометрических конструкциях. Пересечение кругов, центры которых — ширина радиуса обособленно, является парой равносторонних арок, каждая из которых может быть надписана с равносторонним треугольником. Они формируют лица регулярных и однородных многогранников.

Три из пяти платонических твердых частиц составлены из равносторонних треугольников. В частности регулярный четырехгранник имеет четыре равносторонних треугольника для лиц и может считаться трехмерным аналогом формы. Самолет может крыться черепицей, используя равносторонние треугольники, дающие треугольную черепицу.

Геометрическое строительство

Равносторонний треугольник легко построен, используя компас и straightedge. Потяните прямую линию, и поместите пункт компаса на одном конце линии и качайте дугу от того пункта до другого пункта линейного сегмента. Повторитесь с другой стороной линии. Наконец, соедините пункт, где две дуги пересекаются с каждым концом линейного сегмента

Дополнительный метод:

Нарисуйте круг с радиусом r, поместите пункт компаса на круге и нарисуйте другой круг с тем же самым радиусом. Эти два круга пересекутся в двух пунктах. Равносторонний треугольник может быть построен, беря два центра кругов и любой из пунктов пересечения.

Доказательством, что получающееся число — равносторонний треугольник, является первое суждение в Книге I Элементов Евклида.

Происхождение формулы области

Формула области с точки зрения длины стороны банка быть полученным, непосредственно используя теорему Пифагора или используя trionometry.

Используя теорему Пифагора

Площадь треугольника — половина одной стороны времена высота h с той стороны:

:

Ноги любого прямоугольного треугольника, сформированного высотой равностороннего треугольника, являются половиной основы a, и гипотенуза — сторона равностороннего треугольника. Высота равностороннего треугольника может быть найдена, используя теорему Пифагора

:

так, чтобы

:

Замена h в формулу (1/2) области ах дает формулу области для равностороннего треугольника:

:

Используя тригонометрию

Используя тригонометрию, площадь треугольника с любыми двумя сторонами a и b и угол C между ними

:

Каждый угол равностороннего треугольника составляет 60 °, таким образом

,

:

Синус 60 °. Таким образом

:

так как все стороны равностороннего треугольника равны.

В культуре и обществе

Равносторонние треугольники часто появлялись в человеке, сделанном строительством:

У

См. также

  • Почти равносторонний треугольник Heronian
  • Равнобедренный треугольник
  • Прямоугольный треугольник

Внешние ссылки

Источник: http://ru.knowledgr.com/00125795/%D0%A0%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B9%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA

Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника — формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника

Равносторонний треугольник.
Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Геометрические фигуры. Свойства, формулы: периметры, площади, объемы, длины. Треугольники, Прямоугольники и т.д. Градусы в радианы. / / Плоские фигуры.

Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д. / / Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника — формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.

Свойства треугольников.Меню

Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.Для инженера это еще и единственная «жесткая» плоская фигура на свете.Раздел математики, посвященный изучению закономерностей треугольников — тригонометрия.Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.

Обозначения в треугольнике.

Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

Виды треугольников:

(по величине углов)

Остроугольный треугольник — это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.
Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).
Тупоугольный треугольник — это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.(по числу равных сторон)
(по соотношению сторон)
Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).
Равнобедренный тругольник — это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.
Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.(Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным).
Рассмотрим рис. ниже.Углы α, β, γ нызываются внутренними углами треугольника.Угол Θ — называется внешним углом треугольника, он равен сумме двух противолежащих ему внутренних углов, т.е. Θ= β+γ(а+с+b) — периметр треугольника.Угол α, называется смежным по отношению к углу Θ. ( α+ Θ)=180° (развернутый угол)

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

  1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
  2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
  3. Сумма углов треугольника равна 180 °  (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 °).
  4. Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
  5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
    •  a < b + c,
    •  a > b – c;
    •  b < a + c,
    •  b > a – c;
    •  c < a + b,
    •  c > a – b.
Два треугольника называются конгруэнтными (равными), если они равны по всем параметрам, т.е. три угла и три стороны одного треугольника равны трем углам и трем сторонам другого треугольника.

Признаки равенства треугольников:

1. Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам). 2. Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними). 3. Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).4. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны: 1. Гипотенуза и острый угол. 2. Катет и противолежащий угол. 3. Катет и прилежащий угол. 4. Два катета.5. Гипотенуза и катет.

Подобные треугольники.

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны, т.е.(р/а)=(q/b)=(r/c).

Признаки подобия треугольников:

  1. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  2. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
  3. Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

  1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия [(р/а)=(q/b)=(r/c)=коэффициент подобия].
  2. Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:1. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому (Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.) проекций катетов на гипотенузу.2. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. , т.е. BC2=AB2+AC2 см. рис. выше.

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
  1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
  4. Из двух медиан треугольника большая медиана проведена к его меньшей стороне.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника— это луч, который исходит из вершины треугольника, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

  1. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам например, на  рис. выше  AE:CE = AB:BC
  2. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
  3. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Высота треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O на рис. выше) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

  1. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).
  2. Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников.
  3. Из двух высот треугольника большая высота проведена к его меньшей стороне.
  4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
  5. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Срединный перпендикуляр

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка(стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС(KO, MO, NO, рис.выше) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

1.Произвольный треугольник — формулы площади

a, b, c — стороны; α — угол между сторонами a и b; p=(a+b+c) / 2— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a.

  1. S=(1/2)*(a* ha) — по стороне и высоте.
  2. S=(1/2) *(a*b*sinα) по двум сторонам и синусу угла между ними
  3. — по длинам сторон — формула площади Герона
  4. S=p*r — через периметр и радиус вписанной окружности
  5. S=(a*b*c) / (4R) — через длины сторон и радиус описанной оружности
a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота, проведенная к стороне c.1. S=(1/2)*a*b2. S=(1/2)*c*hc
S=(a2*√3)/4
— Синус α — это отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе)- Косинус α — это отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе)- Тангенс α — это отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)- Котангенс α — это отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)

Источник: https://tehtab.ru/guide/guidemathematics/perimsqvolgradrad/squaresofplainfigures/trianglesproporties/

Треугольник равносторонний: свойства, признаки, площадь, периметр

Равносторонний треугольник.

В школьном курсе геометрии огромное количество времени уделяется изучению треугольников.

Ученики вычисляют углы, строят биссектрисы и высоты, выясняют, чем фигуры отличаются друг от друга, и как проще всего найти их площадь и периметр.

Кажется, что это никак не пригодится в жизни, но иногда все-таки полезно узнать, например, как определить, что треугольник равносторонний или тупоугольный. Как же это сделать?

Типы треугольников

Три точки, которые не лежат на одной прямой, и отрезки, которые их соединяют. Кажется, что эта фигура — самая простая.

Какими могут быть треугольники, если у них всего три стороны? На самом деле вариантов довольно большое количество, и некоторым из них уделяется особое внимание в рамках школьного курса геометрии.

Правильный треугольник — равносторонний, то есть все его углы и стороны равны. Он обладает рядом примечательных свойств, о которых речь пойдет дальше.

У равнобедренного равны только две стороны, и он также довольно интересен. У прямоугольного и тупоугольного треугольников, как несложно догадаться, соответственно, один из углов прямой или тупой. При этом они также могут равнобедренными.

Существует и особый вид треугольника, называемый египетским. Его стороны равны 3, 4 и 5 единицам. При этом он является прямоугольным. Считается, что такой треугольник активно использовался египетскими землемерами и архитекторами для построения прямых углов. Есть мнение, что с его помощью были возведены знаменитые пирамиды.

И все-таки все вершины треугольника могут лежать на одной прямой. В этом случае он будет называться вырожденным, в то время как все остальные — невырожденными. Именно они и являются одним из предметов изучения геометрии.

Треугольник равносторонний

Разумеется, правильные фигуры вызывают всегда наибольший интерес. Они кажутся более совершенными, более изящными. Формулы вычисления их характеристик зачастую проще и короче, чем для обычных фигур.

Это относится и к треугольникам.

Неудивительно, что при изучении геометрии им уделяется достаточно много внимания: школьников учат отличать правильные фигуры от остальных, а также рассказывают о некоторых их интересных характеристиках.

Признаки и свойства

Как нетрудно догадаться из названия, каждая сторона равностороннего треугольника равна двум другим. Кроме того, он обладает рядом признаков, благодаря которым можно определить, правильная ли фигура или нет.

  • все его углы равны, их величина составляет 60 градусов;
  • биссектрисы, высоты и медианы, проведенные из каждой вершины, совпадают;
  • правильный треугольник имеет 3 оси симметрии, он не изменяется при повороте на 120 градусов.
  • центр вписанной окружности также является центром описанной окружности и точкой пересечения медиан, биссектрис, высот и срединных перпендикуляров.

Если наблюдается хотя бы один из вышеперечисленных признаков, то треугольник — равносторонний. Для правильной фигуры справедливы все упомянутые утверждения.

Все треугольники обладают рядом примечательных свойств. Во-первых, средняя линия, то есть отрезок, делящий две стороны пополам и параллельный третьей, равна половине основания.

Во-вторых, сумма всех углов этой фигуры всегда равна 180 градусам. Кроме того, в треугольниках наблюдается еще одна любопытная взаимосвязь. Так, против большей стороны лежит больший угол и наоборот.

Но это, конечно, к равностороннему треугольнику отношения не имеет, ведь у него все углы равны.

Вписанные и описанные окружности

Нередко в курсе геометрии учащиеся также изучают то, как фигуры могут взаимодействовать друг с другом. В частности, изучаются окружности, вписанные в многоугольники или описанные около них. О чем идет речь?

Вписанной называют такую окружность, для которой все стороны многоугольника являются касательными. Описанной — ту, которая имеет точки соприкосновения со всеми углами. Для каждого треугольника всегда можно построить как первую, так и вторую окружность, но только одну каждого вида. Доказательства двух этих теорем приводятся в школьном курсе геометрии.

Помимо вычисления параметров самих треугольников, некоторые задачи также подразумевают расчет радиусов этих окружностей. И формулы применительно к
равностороннему треугольнику выглядят следующим образом:

r = a/√ ̅3;

R = a/2√ ̅3;

где r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности, a — длина стороны треугольника.

Вычисление высоты, периметра и площади

Основные параметры, вычислением которых занимаются школьники во время изучения геометрии, остаются неизменными практически для любых фигур. Это периметр, площадь и высота. Для простоты расчетов существуют различные формулы.

Так, периметр, то есть длина всех сторон, вычисляется следующими способами:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, где a — сторона правильного треугольника, R — радиус описанной окружности, r — вписанной.

Высота:

h = (√ ̅3/2)*a, где a — длина стороны.

Наконец, формула площади равностороннего треугольника выводится из стандартной, то есть произведения половины основания на его высоту.

S = (√ ̅3/4)*a2, где a — длина стороны.

Также эта величина может быть вычислена через параметры описанной или вписанной окружности. Для этого также существуют специальные формулы:

S = 3√ ̅3r2 = (3√ ̅3/4)*R2, где r и R — соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей.

Построение

Еще один интересный тип задач, касающийся в том числе и треугольников, связан с необходимостью начертить ту или иную фигуру, используя минимальный набор
инструментов: циркуль и линейку без делений.

Для того чтобы построить правильный треугольник с помощью только этих приспособлений, необходимо выполнить несколько шагов.

  1. Нужно начертить окружность с любым радиусом и с центром в произвольно взятой точке А. Ее необходимо отметить.
  2. Далее нужно провести прямую через эту точку.
  3. Пересечения окружности и прямой необходимо обозначить как В и С. Все построения должны проводиться с максимально возможной точностью.
  4. Далее надо построить еще одну окружность с тем же радиусом и центром в точке С или дугу с соответствующими параметрами. Места пересечения будут обозначены как D и F.
  5. Точки B, F, D необходимо соединить отрезками. Равносторонний треугольник построен.

Решение подобных задач обычно представляет для школьников проблему, но это умение может пригодиться и в обычной жизни.

Источник: http://fb.ru/article/134831/treugolnik-ravnostoronniy-svoystva-priznaki-ploschad-perimetr

Площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник.

Равносторонним, или правильным, называется треугольник, в котором все стороны одинаковой длины, а все три угла равны 60°.

В таком треугольнике центр вписанной и описанной окружности находятся в одной точке, а радиус описанной окружности равняется двойному радиусу вписанной:

Для нахождения площади равностороннего треугольника можно применять различные формулы.

Учитывая, что все стороны равны и зная их длину, можно легко найти значение по формуле площади правильного треугольника:

Эта формула выводится из обычной формулы площади треугольника через синус угла.

Пример расчета площади равностороннего треугольника через сторону.
Задача: дан равносторонний треугольник со стороной a= 5 см. Найдите площадь
Решение:
Площадь треугольника будет равна 10,6 квадратных сантиметра

2.Через описанную окружность…

Можно найти значение через радиус описанной окружности. Он может быть дан условиями или рассчитываться исходя из радиуса вписанной окружности по приведенной выше формуле:

2.Через вписанную окружность…

Также есть формула нахождения площади, через радиус вписанной окружности.

Рассмотрим пример расчета площади правильного треугольника через вписанную окружность.
Задача: дан правильный треугольник, в который вписана окружность. Сторона a= 4 см, радиус R = 2,5 см. Рассчитайте площадь через радиус описанной окружности.
Решение: мы уже знаем, что радиус описанной окружности вдвое больше радиуса вписанной.

Найдем его:
Теперь подставим найденное значение в формулу:
Получаем, что площадь треугольника равна 32,9 кв.

см

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом.

Формула площади сектора кольца, выраженная через внешний и внутренний радиусы

Пусть дана окружность радиуса R и окружности радиуса r. Причем R>r. Совместим центры этих окружностей. Возьмем на окружности с большим радиусом две произвольные точки. Проведем к ним радиусы, которые образуют угол α. Эти радиусы отсекут от окружностей некоторые дуги.

Фигура, заключенная между этими дугами окружностей и радиусами, проведенными к концам этих дуг, и будет сектор кольца, у которого R является внешним радиусом, r -внутренним радиусом.Тогда площадь этой фигуры будет равна разницы между площадью сектора круга с большим радиусом и площадью сектора круга с меньшим радиусом.

Площадь сектора круга с радиусом r выражается формулой:

где l–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора. Получим:
Площадь круга с радиусом R выражается формулой:
где L–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора.

Получим:

Тогда площадь кольца будет равна:Таким образом, площадь сектора кольца равна произведению площади единичного сектора кольца, то есть сектору, соответствующему центральному углу с мерой равной единице на меру центрального угла, соответствующего данному сектору.
Формула имеет вид:

Пример расчета площади сектора кольца, если известны его радиусы.Найдите площадь сектора кольца, образованного углом 30° , если его внешний радиус равен 14, а внутренний – 8.Площадь кольца вычисляется по формуле:

Подставив значения из условия задачи, имеем:

Page 3

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения.

Построим вписанную в конус правильную n-угольную пирамиду и опишем вокруг данного конуса правильную n-угольную пирамиду.Вписанная пирамида содержится в конусе. Из этого следует, что ее объем не больше объема конуса.

Описанная пирамида содержит конус, а это значит, что ее объем не меньше объема конуса.

Впишем в основание вписанной пирамиды окружность.
Если радиус вписанного правильного n-угольника равен R, то радиус вписанной в него окружности будет равен:

Объем вписанной пирамиды вычисляется по формуле:

где S – основание пирамиды.
Площадь данного круга вычисляется по формуле: Площадь основания вписанной пирамиды не меньше площади круга, содержащегося в ней

Поэтому утверждение, что объем вписанной в конус пирамиды не меньше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий эту пирамиду будет больше или равен
V≥

Теперь опишем окружность вокруг основания описанной вокруг конуса пирамиды.
Радиус этой окружности будет равен:

Площадь данного круга вычисляется по формуле:
Основание описанной пирамиды содержится в круге описанном вокруг него. Поэтому площадь основания пирамиды не больше
Поэтому утверждение,что объем описанной пирамиды не больше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий в эту пирамиду будет меньше или равен

Два полученных неравенства равны при любом n.

Если то
Тогда из первого неравенства следует, что V≥
Из второго неравенства

Отсюда следует, что

Объем конуса равен одной трети произведения радиуса на высоту.

Пример расчета объема конусаНайти объем конуса, если его радиус основания равен 3 см, а образующая 5 см.

Объем конуса вычисляется по формуле:

Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора имеем:

Отсюда:

Подставим значение радиуса и высоты в формулу объема конуса.Имеем:

Page 4

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса.

Дополним данный усеченный конус до полного . Пусть его высота будет x . Если высота усеченного конуса – h , то высота отсеченного конуса будет – x-h .

Высота усеченного конуса будет равна разности объема полного конуса с радиусом R1и высотой x и объема полного конуса с радиусом R2. и высотой x-h.

Из подобия этих конусов получаем:
Выразим x:

Тогда объем усеченного конуса можно выразить:
Применив формулу разницы кубов, имеем:

Таким образом, формула объема усеченной пирамиды имеет вид:

Пример расчета объема усеченного конусаРадиусы основания усеченного конуса равны 11 и 27 , образующая относится к высоте как 17:15 . Найдите объем усеченного конуса.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и разница радиусов оснований образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора получаем: Так как образующая относится к высоте как 17:15, то L=17x, H=15x.

Тогда:

Тогда высота усеченного конуса будет равна:

Подставим значения в формулу объема усеченного конуса. Получим:

Page 5

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Page 6

У большинства детей младшего школьного возраста хорошо развита механическая память, которая задействуется при выучивании правил.

Но для отдельных детей, а особенно творческих личностей, зубрежка является невыносимой.

Родители, думающие, что их чадо не способно освоить изучение таблицы умножения и поэтому в дальнейшем будет отставать в математике, заблуждаются. На самом деле к нему нужен совершенно другой, особый подход.

Читать далее

Ниже представлена таблица степеней от 2 до 10 натуральных чисел от 1 до 20.
Читать далее

Таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100
Читать далее

Таблица факториалов от 1 до 40
Читать далее

Page 7

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Источник: http://2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-ravnostoronnego-treugolnika/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.

    ×
    Рекомендуем посмотреть