Треугольник

Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника – формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника

Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Геометрические фигуры. Свойства, формулы: периметры, площади, объемы, длины. Треугольники, Прямоугольники и т.д. Градусы в радианы. / / Плоские фигуры.

Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д. / / Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника – формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.

Источник: https://tehtab.ru/guide/guidemathematics/perimsqvolgradrad/squaresofplainfigures/trianglesproporties/

Треугольник. Исчерпывающий гид (2019)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

На тему «Треугольник», пожалуй, можно было бы написать целую книжку.

Но книжку целиком читать слишком долго, правда? Поэтому мы здесь рассмотрим только факты, которые касаются вообще любого треугольника, а всякие специальные темы, такие как равнобедренный треугольник, прямоугольный треугольник и т.д. выделены в отдельные темы – читай книжку по кусочкам. Ну вот, что же касается любого треугольника.

1. Сумма углов треугольника. Внешний угол

Запомни твердо и не забывай. Доказывать мы это не будем (смотри следующие уровни теории).

Единственное, что тебя может смущать в нашей формулировке – это слово «внутренних».

Зачем оно тут? А вот именно затем, чтобы подчеркнуть, что речь идёт об углах, которые внутри треугольника. А что, разве бывают ещё какие-то углы снаружи? Вот представь себе, бывают.

Так что давай выясним, что же такое этот внешний угол треугольника.

Смотри на картинку: берём треугольник и одну сторону (скажем  ) продолжаем.

Конечно, мы бы могли оставить сторону  , а продолжить сторону  . Вот так:

А вот про угол   такого сказать ни в коем случае нельзя!

Так что не каждый угол снаружи треугольника имеет право называется внешним углом, а только тот, который образован одной стороной и продолжением другой стороны.

Так что же мы должны знать про внешний угол?

Смотри, на нашем рисунке это означает, что  .

Как же это связано с суммой углов треугольника?

Давай разберёмся. Сумма внутренних углов равна  

 ,

но   – потому, что   и   – смежные.

Ну вот и получается:  .

Видишь как просто?! Но очень важно. Так что запоминай:

Сумма внутренних углов треугольника равна  , а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

2. Неравенство треугольника

Следующий факт касается не углов, а сторон треугольника.

Это означает, что

  и

  и

Ты уже догадался, почему этот факт называется неравенством треугольника?

Ну вот, а где же это неравенство треугольника может оказаться полезным?

А представь, что у тебя есть три друга: Коля, Петя и Сергей. И вот, Коля говорит: «От моего дома до Петиного   м по прямой». А Петя: «От моего дома до дома Сергея   метров по прямой». А Сергей: «Вам хорошо, а от моего дома до Колиного аж   м по прямой». Ну, тут уже ты должен сказать: «Стоп, стоп! Кто – то из вас говорит неправду!»

Почему? Да потому что если от Коли до Пети   м, а от Пети до Сергея   м, то от Коли до Сергея точно должно быть меньше   ( ) метров – иначе и нарушается то самое неравенство треугольника.

Ну и здравый смысл точно, естественно, нарушается: ведь всякому с детства неизвестно, что путь до прямой ( ) должен быть короче, чем путь с заходом в точку  . ( ). Так что неравенство треугольника просто отражает этот общеизвестный факт.

Ну вот, ты теперь знаешь, как отвечать на такой, скажем, вопрос:

Бывает ли треугольник со сторонами  ?

Ты должен проверить, правда ли, что любые два числа из этих трёх в сумме больше третьего. Проверяем:  , значит, треугольника со сторонами   и   не бывает! А вот со сторонами   – бывает, потому что

  и

  и

3. Равенство треугольников

Ну вот, а если не один, а два или больше треугольников. Как проверишь, равны ли они? Вообще-то по определению:

Но…это ужасно неудобное определение! Как, скажите на милость, накладывать два треугольника хотя бы даже в тетради?! Но на наше счастье есть признаки равенства треугольников, которые позволяют действовать умом, не подвергая риску тетрадки.

Да и к тому же, отбросив легкомысленные шуточки, открою тебе секрет: для математика слово «наложить треугольники» означает вовсе не вырезать их и наложить, а сказать много – много – много слов, которые будет доказывать, что два треугольника совпадут при наложении. Так что ни в коем случае нельзя в работе писать «я проверил – треугольники совпадают при наложении» – тебе это не засчитают, и будут правы, потому что никто не гарантирует, что ты при наложении не ошибся, скажем, на четверть миллиметра.

Итак, какие-то математики сказали кучу слов, мы за ними эти слова повторять не будем (разве что в последнем уровне теории), а будем активно пользоваться тремя признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников

В обиходе (математическом) приняты такие укороченные формулировки – их легче запомнить и применять.

1. Первый признак – по двум сторонам и углу между ними;
2. Второй признак – по двум углам и прилежащей стороне;
3. Третий признак – по трём сторонам.

ТРЕУГОЛЬНИК. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

Основные понятия.

Основные свойства:

1. Сумма внутренних углов любого треугольника равна  , т.е.
    
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т.е.
     или  
3. Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины его третьей стороны, т.е.
    
4. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол, т.е.
   если  , то  , и наоборот,
   если  , то  .

Признаки равенства треугольников.

1. Первый признак – по двум сторонам и углу между ними.

2. Второй признак – по двум углам и прилежащей стороне.

3. Третий признак – по трём сторонам.

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это – не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но, думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте – нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Источник: https://youclever.org/book/treugolnik-1

Треугольник. Формулы и свойства треугольников

Определение. Треугольник – фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами.

По величине углов

1. Остроугольный треугольник – все углы треугольника острые.
2. Тупоугольный треугольник – один из углов треугольника тупой (больше 90°).
3. Прямоугольный треугольник – один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

1. Разносторонний треугольник – все три стороны не равны.
2. Равнобедренный треугольник – две стороны равны.
3. Равносторонним треугольник или правильный треугольник – все три стороны равны.

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

α + β + γ = 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β, тогда a > b

если α = β, тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a2 = b2 + c2 – 2bc·cos α

b2 = a2 + c2 – 2ac·cos β

c2 = a2 + b2 – 2ab·cos γ

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a = 23√2(mb2 + mc2) – ma2

b = 23√2(ma2 + mc2) – mb2

c = 23√2(ma2 + mb2) – mc2

Определение. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

   AOOD = BOOE = COOF = 21

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

   S∆ABD = S∆ACD

   S∆BEA = S∆BEC

   S∆CBF = S∆CAF

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

   S∆AOF = S∆AOE = S∆BOF = S∆BOD = S∆COD = S∆COE

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 12√2b2+2c2-a2

mb = 12√2a2+2c2-b2

mc = 12√2a2+2b2-c2

Определение. Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника:

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, – центре вписанной окружности.

2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

   AEAB = ECBC

3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

   Угол между lc и lc' = 90°

4. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√bcp(p – a)b + c

lb = 2√acp(p – b)a + c

lc = 2√abp(p – c)a + b

где p = a + b + c2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2bc cos α2b + c

lb = 2ac cos β2a + c

lc = 2ab cos γ2a + b

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться

• внутри треугольника – для остроугольного треугольника;
• совпадать с его стороной – для катета прямоугольного треугольника;
• проходить вне треугольника – для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

ha:hb:hc = 1a:1b:1c = (bc):(ac):(ab)

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол:

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь:

ha = 2Sa

hb = 2Sb

hc = 2Sc

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности:

ha = bc2R

hb = ac2R

hc = ab2R

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру:Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны:

r = (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)4(a + b + c)

Радиус вписанной в треугольник окружности через три высоты:

Определение. Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к уго сторонам.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

Свойства углов

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь:Радиус описанной окружности через площадь и три угла:Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов):

R = a2 sin α = b2 sin β = c2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то.

rR = 4 sinα2 sinβ2 sinγ2 = cos α + cos β + cos γ – 1

Средняя линия треугольника

Определение. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

1. Любой треугольник имеет три средних линии

2. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

MN = 12AC     KN = 12AB     KM = 12BC

MN || AC     KN || AB     KM || BC

3. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника

S∆MBN = 14 S∆ABC

S∆MAK = 14 S∆ABC

S∆NCK = 14 S∆ABC

4. При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

∆MBN ∼ ∆ABC

∆AMK ∼ ∆ABC

∆KNC ∼ ∆ABC

∆NKM ∼ ∆ABC

Признаки. Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок – средняя линия.

1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
   Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

   S = 12a · ha
   S = 12b · hb
   S = 12c · hc

2. Формула площади треугольника по трем сторонам

   S = √p(p – a)(p – b)(p – c)

   где p = a + b + c2 – полупериметр треугльника.

3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
   Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

   S = 12a · b · sin γ
   S = 12b · c · sin α
   S = 12a · c · sin β

4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
   Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Определение. Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.

Свойства. У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны)

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 2.

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 3.

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Определение. Подобные треугольники – треугольники соответствующие углы которых равны, а сходственные стороны пропорциональны.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α1, β = β1, γ = γ1 и ABMN = BCNK = ACMK = k,

где k – коэффициент подобия

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Свойства. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S∆АВСS∆MNK = k2

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

Геометрия. Урок 3. Треугольники

Треугольник – многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.

Угол ∠ A — угол, образованный сторонами A B и A C и противолежащий стороне B C .

Угол ∠ B — угол, образованный сторонами B A и B C и противолежащий стороне A C .

Угол ∠ C — угол, образованный сторонами C B и C A и противолежащий стороне A B .

Виды треугольников

Треугольник остроугольный, если все три угла в треугольнике острые.

Треугольник прямоугольный, если у него один из углов прямой ( = 90 ° ) .

Треугольник тупоугольный, если у него один из углов тупой.

Примеры:

Основные свойства треугольника:

• Против большей стороны лежит больший угол.
• Против равных сторон лежат равные углы.
• Сумма углов в треугольнике равна 180 ° .
• Если продолжить одну из сторон треугольника, например, A C , и взять на продолжении стороны точку D , образуется внешний угол ∠ B C D к исходному углу ∠ A C B .

  Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. ∠ B C D = 180 ° − ∠ A C B ∠ B C D = ∠ A + ∠ B

• Неравенство треугольника: любая из сторон треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности.

Отрезки в треугольнике

Биссектриса угла — луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.

Свойства биссектрис треугольника:

• Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
• Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

  a b = m n

• Биссектрисы пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис – центр вписанной в треугольник окружности.

Замечание: биссектриса угла – это луч, а биссектриса треугольника – отрезок.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Свойства медиан треугольника:

• Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (два треугольника, имеющих одинаковую площадь).
• Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
• Три медианы, проведенные в одном треугольнике, разбивают его на шесть равновеликих треугольников.

  S 1 = S 2 = S 3 = S 4 = S 5 = S 6

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины угла треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону этого треугольника.

Если треугольник остроугольный, то все три высоты будут лежать внутри треугольника. Если треугольник тупоугольный, то высоты, проведенные из вершин острых углов будут лежать вне треугольника, а высота, проведенная из вершины тупого угла будет лежать внутри треугольника.

Пример:

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

m = a 2

Всего в треугольнике можно провести три средние линии. Три средние линии разбивают исходный треугольник на четыре равных треугольника. Площадь каждого маленького треугольника будет равна четверти площади большого треугольника.

Площадь треугольника

Площадь произвольного треугольника можно найти следующими способами:

• Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
  S = 1 2 a ⋅ h a
• Полупроизведение двух сторон на синус угла между ними.
  S = 1 2 a ⋅ b ⋅ sin α
• По формуле Герона.
  S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) p = a + b + c 2

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равнобедренный треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.

Свойства равноберенного треугольника:

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию совпадают.

Равносторонний треугольник

Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S = a 2 3 4

Высота равностороннего треугольника находится по формуле h = a 3 2

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов равен 90 ° .

Свойства прямоугольного треугольника:

• Сумма двух острых углов треугольника равна 90 ° .
• Катет, лежащий напротив угла в 30 ° , равен половине гипотенузы.
• Если катет равен половине гипотенузы, он лежит напротив угла в 30 ° .
  a = c 2 c = 2 ⋅ a
• Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
  m = c 2
• Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике a = m ⋅ c b = n ⋅ c h = m ⋅ n

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c 2 = a 2 + b 2

У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны друг другу, следовательно, площадь можно найти по формуле:

S = 1 2 a ⋅ b

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с треугольниками

Скачать домашнее задание к уроку 3.

Источник: https://epmat.ru/modul-geometriya/urok-3-treugolniki/